Programmation linéaire

Pages: 7 (1553 mots) Publié le: 28 avril 2010
Programmation Lineaire
Rachidi Kotchoni

02 Février 2010

R. Kotchoni (U. de Montreal)

Programmation Lineaire

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Programmation Linéaire

Dans le chapitre précédent, on a vu qu’ problème d’ un optimisation dans Rn sous-contraintes d’ inégalité peut s’ écrire sous la forme: max f (x1 , x2 , ..., xn ) 8 > g1 (x1 , x2 , ..., xn ) > < g2 (x1 , x2 , ..., xn )sc: .... > > : gK (x1 , x2 , ..., xn ) c1 c2 cK

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Écriture Matricielle

La programmation linéaire traite de la résolution des problèmes d’ optimisation dont la fonction objectif f est linéaire et dont les contraintes d’ inégalités gk , k = 1, ..., K sont linéaires: f (x1 , x2 , ..., xn ) = p1 x1 + p2 x2 + ...+ pn xn gk (x1 , x2 , ..., xn ) = bk ,1 x1 + bk ,2 x2 + ... + bk ,n xn , 8 k Toutes les techniques de chapitre précédent restent applicables. Ce cours adaptate les résultats du chapitre précédent à l’ optimisation avec fonction-objectif et contraintes linéaires. Cette adaptation permet de gérer plus aisément plusieurs contraintes.

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Écriture Matricielle
Dé…nissons les matrices suivantes:

Alors le problème de programmation linéaire s’ écrit: max p 0 x sc:
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= (x1 , x2 , ..., xn )0 p = (a1 , a2 , ..., an )0 c = (c1 , x2 , ..., cn )0 0 b1,1 b1,2 B b2,1 b2,2 B B = B . . . @ . . . bK ,1 bK ,2
x

... ... .. . ...

b1,n b2,n . . . bK ,n

1 C C C A

Bx

c
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Programmation Lineaire

Écriture Matricielle (suite)

En économie, il est coutume d’ ajouter une contrainte de positivité: max p 0 x Bx c sc : x 0 On écrit x 0 pour dire que chaque coordonnée de x est positive: x1 0, x2 0, ..., xn 0

La PL est trés utilisé dans la gestion des a¤aires:
Gestion des stocks Allocation de ressources entre plusieurs activités commercialesR. Kotchoni (U. de Montreal)

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Exemple

Un industriel fabrique deux types de biens (1 et 2) avec trois types d’ input (1, 2, 3). Par exemple:
bien 1 = chaise, bien 2 = table input 1 = bois, input 2 = clou, input 3 = nombre d’ heures de travail

La production d’ une unité de bien i nécessite bi ,1 , bi ,2 et bi ,3 des input 1, 2 et 3.Les quantités maximales d’ input sont respectivement Q1 , Q2 et Q3 . Les prix courant des deux biens sont p1 et p2 . Si l’ entrepreneur produit x1 du bien 1 et x2 du bien 2, sa recette est p1 x1 + p2 x2 .

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Exemple (suite)

L’ entrepreneur souhaite maximiser sa recette dans la limite de ses possibilités deproduction. max p1 x1 + p2 x2 8 > b1,1 x1 + b2,1 x2 Q1 > < b1,2 x1 + b2,2 x2 Q2 s.c: > b1,3 x1 + b2,3 x2 Q3 > : x1 0, x2 0

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Exemple: Ecriture matricielle

On peut encore écrire max p 0 x B 0x Q x 0 avec p = (p1 , p2 )0 , Q = (Q1 , Q2 , Q3 ) 0 b1,1 @ b1,2 B= b1,3 et 1 b2,1 b2,2 A b2,3

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Résolution graphique dans le plan
On commence par construire l’ ensemble des points admissibles, c’ est à dire le domaine S tel que: x 2S , B 0x x Q 0

Ensuite, on construit les courbes d’ isopro…t, c’ a dire les courbe de est niveau: p0x = u La solution du problème de PL est le point de S correspondant à l’ isopro…t le plusélevé. La démarche ci-dessus est la même que la résolution graphique d’ un problème de maximisation d’ utilité dans l’ ensemble du budget.

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Résolution graphique: exemple

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Propriétés de la solution

Lorsque la...
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