Programmation Lineaire
Rachidi Kotchoni

02 Février 2010

R. Kotchoni (U. de Montreal)

Programmation Lineaire

02 Février 2010

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Programmation Linéaire

Dans le chapitre précédent, on a vu qu’ problème d’ un optimisation dans Rn sous-contraintes d’ inégalité peut s’ écrire sous la forme: max f (x1 , x2 , ..., xn ) 8 > g1 (x1 , x2 , ..., xn ) > < g2 (x1 , x2 , ..., xn ) sc: .... > > : gK (x1 , x2 , ..., xn ) c1 c2 cK

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Écriture Matricielle

La programmation linéaire traite de la résolution des problèmes d’ optimisation dont la fonction objectif f est linéaire et dont les contraintes d’ inégalités gk , k = 1, ..., K sont linéaires: f (x1 , x2 , ..., xn ) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn gk (x1 , x2 , ..., xn ) = bk ,1 x1 + bk ,2 x2 + ... + bk ,n xn , 8 k Toutes les techniques de chapitre précédent restent applicables. Ce cours adaptate les résultats du chapitre précédent à l’ optimisation avec fonction-objectif et contraintes linéaires. Cette adaptation permet de gérer plus aisément plusieurs contraintes.

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Écriture Matricielle
Dé…nissons les matrices suivantes:

Alors le problème de programmation linéaire s’ écrit: max p 0 x sc:
R. Kotchoni (U. de Montreal)

= (x1 , x2 , ..., xn )0 p = (a1 , a2 , ..., an )0 c = (c1 , x2 , ..., cn )0 0 b1,1 b1,2 B b2,1 b2,2 B B = B . . . @ . . . bK ,1 bK ,2 x ... ... .. . ...

b1,n b2,n . . . bK ,n

1 C C C A

Bx

c
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Programmation Lineaire

Écriture Matricielle (suite)

En économie, il est coutume d’ ajouter une contrainte de positivité: max p 0 x Bx c sc : x 0 On écrit x 0 pour dire que chaque coordonnée de x est positive: x1 0, x2 0, ..., xn 0

La PL est trés utilisé dans la gestion des a¤aires:
Gestion des stocks Allocation de ressources entre plusieurs activités commerciales

R.