Métropole

Juin 2009

série STI

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Génie Mécanique A et F / Génie Energétique / Génie Civil

Exercice 1 : (6 points)
Pour la construction d'une piscine privée, un architecte a imaginé la forme de la figure 1 (vue de
  dessus de la piscine), où (O; i , j ) est un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre

 de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : AB de centre O et de rayon 3, et CD de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes C et C '. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure.
La courbe C reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8].

D

R=3

R=4

C
A

1 j →

O
0

→

O'

i 1

8

B

C'
C

Figure 1
1)

a) En remarquant que la courbe C passe par le point A d'abscisse 0, le point D d'abscisse
8, et qu'en ces points elle admet une tangente horizontale, déterminer les valeurs de f (0), f (8), f ’(0) et f ’(8).
b) On suppose qu'il existe quatre nombres réels a, b, c et d tels que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8], f (x) = ax3+ bx2 + cx + d.
Déterminer l'expression de f ’(x) en fonction de a, b, c, d et x.
c) Déduire des questions précédentes que c = 0 et d = 3 et que les réels a et b vérifient le

 512a + 64b = 1 système : 

 192a + 16b = 0
d) Résoudre le système précédent.

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2) Par la suite, on admet que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8], f (x) = −

1 x3 + 3 x2 + 3, et
64
256

que f est strictement positive sur [0 ; 8].
Le but de cette question est de déterminer l’aire de la piscine, en m2, sachant que la figure 1 est une représentation à l'échelle 1/100 de la réalité.
a)