Notes d’exercices Programmation Lin´aire Avanc´e e

max

fi (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 2x1 + 2x2 ≥ 3 (1) 2x1 − 2x2 ≤ 3 (2) −x1 + x2 ≤ 2 (3) x1 , x2 ≥ 0 (4), (5)

x2

2 (3)

3/2

1

(5)

0 (4)

1 (2)

3/2

2 (1)

x1

Figure 1 : polytope des solutions r´alisables e sous forme standard : 2x1 + 2x2 − x3 = 3 2x1 − 2x2 + x4 = 3 1

−x1 + x2 + x5 = 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 2 2 −1 0 0   0 1 0  a pour rang 3. Les bases sont La matrice A =  2 −2 −1 1 0 0 1 donc de dimension 3 et il y au plus 5 = 10 bases.   3 2 2 −1   0  n’est pas inversible B123 : n’est pas une base car  2 −2 −1 1 0 1 7 B124 : x1 = − 4 , x2 = 4 , x3 = 0, x4 = 7, x5 = 0 est une base non r´alisable e B125 : x1 = 3 , x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 1 est une base r´alisable e 2 2 B134 : x1 = −2, x2 = 0, x3 = −7, x4 = 7, x5 = 0 est une base non r´alisable e 3 e B135 : x1 = 2 , x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 7 est une base r´alisable 2 3 7 B145 : x1 = 2 , x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 2 est une base r´alisable e B234 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 7, x5 = 0 est une base r´alisable e 7 B235 : x1 = 0, x2 = − 3 , x3 = −6, x4 = 0, x5 = 2 est une base non 2 r´alisable e 3 B245 : x1 = 0, x2 = 2 , x3 = 0, x4 = 6, x5 = 1 est une base r´alisable e 2 B345 : x1 = 0, x2 = 0, x3 = −3, x4 = 3, x5 = 2 est une base non r´alisable e Il y a 9 bases dont 5 sont r´alisables. Le polytope a donc au plus 5 e sommets. Les bases B125 , B135 , B145 correspondent ` une mˆme solution. Cette soa e 3 lution est r´alisable, elle correspond au sommet de coordonn´es x1 = 2 , x2 = e e 0. Ces 3 bases sont adjacentes. Les deux autres bases r´alisables B234 et B345 e correspondondent ` deux solutions distinctes. Le polytope a 3 sommets. a La base B245 n’est pas adjacente ` B135 alors que les sommets corresa pondant le sont dans le polytope.   2 0 0   −1 Soit la matrice de base B145 =  2 1 0  avec pour inverse B145 = −1 0 1   1 0 0   2  −1 1 0  1 2 0 1     1 3 1 1 −2 0 0 2     −1 −1 1 1 0  et