Quadrilatère inscriptible
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Quadrilatères inscriptibles
En géométrie, un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le cercle est dit circonscrit au quadrilatère.
Dans un quadrilatère inscriptible (non-croisé), les angles opposés sont supplémentaires1 (leur somme est π radians, soit 180 °). Ou de façon équivalente, chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé. Cette propriété est en fait une variante du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre. Sommaire [masquer] * 1 Aire * 2 Diagonale * 3 Cas particuliers * 4 Autres propriétés * 5 Propriétés des quadrilatères inscriptibles qui sont également orthodiagonaux * 6 Voir aussi * 7 Références * 8 Liens externes |
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Aire[modifier]
L'aire d'un quadrilatère inscriptible en fonction de la longueur de ses côtés est donnée par la formule de Brahmagupta :
où s, le demi-périmètre, vaut .
Parmi tous les quadrilatères ayant la même séquence de longueurs des côtés, cette surface est maximale pour le quadrilatère inscriptible.
L'aire d'un quadrilatère inscriptible de longueurs de côtés successifs a, b, c, d et d'angle γ entre les côtés b et c est aussi donnée par la formule suivante :
.
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Diagonale[modifier]
Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs des deux diagonales p et q d'un quadrilatère inscriptible est égal à la somme des produits des côtés opposés ac et bd : pq = ac + bd.
Pour tout quadrilatère convexe, les deux diagonales du quadrilatère le coupent en quatre triangles; dans un quadrilatère inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées de triangles similaires l'un à l'autre.
Pour un quadrilatère inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs