Résolutions numériques d'équations différentielles

Pages: 3 (718 mots) Publié le: 13 avril 2011
 
 
 

Séminaire
 :
 Analyse
 Numérique
  Compte
 Rendu:
 Résolutions
 numériques
 d'équations
  différentielles
 
 
 
 


 
 

  
  Logiciel
 de
 calcul
 utilisé:
 Scilab
 5.1
 
 


 

I
 Utilisation
 de
 la
 méthode
 d'Euler.
 
 

 
 
 
 
  C'est
 une
  méthode
  numérique
  nommée
  ainsi
  en
  référence
  au
  mathématicien
 Leonhard
 Euler
 qui
 sert
 à
 résoudre
 des
 équations différentielles
  du
 premier
 ordre
 avec
 condition
 initiale.
 
 
  La
 fonction
 cherchée
 f
 est
 approximée
 de
 manière
 affine,
 c'est
 à
 dire que
  pour
 un
 h
 suffisamment
 petit
 et
 pour
 un
 point
 connu
 (t
 et
 f(t)
 par
 exemple)
 on
  pourra
 écrire:
 
  f(t+h) = h.f'(t) + f(t) a)
 Principe
 


  En
 rouge
 la
 fonction
 cherchée,
 en
 bleu
 son
 approximation
 affine
 au
 point
 ti.
 
  A
  partir
  du  nouveau
  point
  calculé
  on
  peut
  refaire
  la
  même
  opération.
  Bien
  sûr
  l'erreur
 dépend
 de
 h
 et
 se
 cumule
 d'un point
 au
 suivant.
 Il
 faudra
 prendre
 un
 h
  assez
  petit
  pour
  obtenir
  la
  meilleure
  approximation
  possible.
  entre
  t
  et
 t+h
  la
  fonction
 sera
 approximée
 par
 une
 droite.
 
 


 
 
  Nous
 allons
 travailler
 sur
 l'équation
 différentielle
 (E)
 
   (E)
 :
 y'
 (x)
 =
 y(x)
  Comme
  nous
  le
  savons
  les
  solutions
  de
  cette
  équation
  différentielles
  sont
  les
 ...
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