Radiographuie

Pages: 4 (900 mots) Publié le: 6 janvier 2011
Exercice 1 : Soit [pic] une partie non vide de [pic] et [pic] une partie non vide de [pic] . On note [pic] l'ensemble des quotients d'un élément de [pic] par un élément de [pic] .
[pic]
1.Montrer que si [pic] est un minorant de [pic] et [pic] un majorant de [pic] alors [pic] est un minorant de [pic] .
2. Montrer que si [pic] n'est pas majorée alors :
[pic]
3. Montrer quesi [pic] et si [pic] n'est pas majorée, alors [pic] .
4. Montrer que si [pic] et si [pic] alors [pic] n'est pas borné.
5. On suppose que [pic] et [pic] sont deux intervalles. Montrer que [pic] estun intervalle.
6. Soit [pic] un réel strictement positif. On pose [pic] et [pic] . Montrer que [pic] .
[pic]
Exercice 2 : Dans tout l'exercice, [pic] désigne un irrationnel positif.
1.Montrer que pour tout [pic] , [pic] est irrationnel.
2. Montrer par un exemple que [pic] peut être rationnel.
3. Montrer que si [pic] est rationnel, alors pour tout [pic] , [pic] est rationnelet [pic] est irrationnel.
4. Soient [pic] deux rationnels. Montrer que [pic] est rationnel si et seulement si [pic] .
5. Soient [pic] quatre rationnels. On suppose que [pic] et [pic] ne sont pastous les deux nuls. Montrer que [pic]est rationnel si et seulement si [pic] .
[pic]
Exercice 3 : Soient [pic] et [pic] deux réels quelconques.
1. Montrer, en utilisant l'inégalité triangulaire,que [pic] .
2. En déduire que [pic] .
[pic]
Exercice 4 :  
1. Soit [pic] un réel et [pic] un entier. Montrer que [pic] .
2. Soient [pic] et [pic] deux réels. Montrer que [pic] .
Exercice1 :
1. Pour tout [pic] , [pic] , donc [pic] . Pour tout [pic] , [pic] . Donc :
[pic]
Donc [pic] est un minorant de [pic] .
2. Soit [pic] un élément quelconque de [pic] .Comme [pic] n'est pas majoré, il existe [pic] tel que [pic] . Donc :
[pic]
Donc [pic] et [pic] .
3. Par hypothèse, tout élément de [pic] est positif ou nul. Donc 0 est un minorant...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !