TP N°1 :

Programmation de méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires AX=B par MATLAB
ÉLABORÉ PAR :
Essaied Abdel Hamid Indp1_C

ANNÉE UNIVERSITAIRE: 2009-2010

Les méthodes de résolution directe

TP1

Introduction:
Dans ce TP on va essayer d’écrire l’algorithme de résolution d’un système linéaire sous MATLAB en utilisant deux méthodes directes : la méthode de gauss et la méthode de Cholesky. Dans la première partie on va procéder à la programmation de l’algorithme de gauss et pour la deuxième on va faire la discrétisation d’un problème aux dérivées partielles par la méthode des différences finies puis la résolution du système obtenu à l’aide de l’algorithme de Cholesky.

1. La methode de gauss :
Nous cherchons à résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues :

La méthode de Gauss consiste à faire une suite d’opérations sur le système d’équations qui, sans changer ses solutions, le transforment en un système triangulaire, dont la résolution est facile. Ces opérations sont : Permuter deux équations ; Ajouter à une équation une autre équation multipliée par un coefficient non nul. REPRESENTATION : Nous représenterons le système par la matrice (n, n + 1)

A est donc la matrice obtenue en ajoutant à la matrice des coefficients du système une dernière colonne formée des seconds membres des équations. DESCRIPTION DE LA PREMIERE ETAPE :

a1,0 … an -1,0 de la première colonne, celui dont la valeur absolue est la plus grande ; soit m l’indice de sa ligne. Le coefficient am,0 est appelé le pivot de l’étape 0. 0.2) Si am ,0 est nul: la résolution du système est impossible. 0.3) Sinon, permuter les lignes d’indices 0 et m.

0.1) Rechercher, parmi les coefficients a0,0

Page 2

Les méthodes de résolution directe
0.4 ) Remplacer chacune des lignes d’indices 1, … n-1 par le résultat de l’addition d’elle même et de la première ligne multipliée par ce qu’il faut pour que le premier coefficient de la ligne résultante soit