Lycée Marie Reynoard

Accompagnement personnalisé TS
Raisonnement par récurrence - Généralités sur les suites.

Exercice n°1. n 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 4 + 5 est un multiple de 3. initialisation pour n=0 4 0+ 5=6=2×3 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc il existe un entier k tel que 4 n +5=3 k

conclusion

4 n +5=3 k ⇔ 4×( 4 n+5)=4×3 k ⇔ 4 n+1 + 20=3×4 k
⇔ 4 n+1 +5=3×4 k −15 ⇔ 4 n+1 +5=3×( 4k−5) or 4 k −5 est un entier donc si 4 n + 5 est un multiple de 3 alors 4 n+1 + 5 est aussi un multiple de 3 la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n.

2. La suite u est définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n , u n + 1 = 5 un – 8.
Démontrer par récurrence que la suite u est constante.
Il faut donc prouver que pour tout n u n=2 (puisque u0 = 2 ). initialisation pour n=0 u0 = 2 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n=2

conclusion

Or u n+1=5u n −8 donc u n+1=5×2−8=10−8=2 donc si u n=2 alors u n+1=2 la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n.

3. La suite u est définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n , u n + 1 =

√u n + 1 .

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0 < un < 2. initialisation pour n=0 u0 = 1 et 0 < 1 < 2 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc 0 < un < 2 donc 1 < u n +1 < 3 donc √ 1< √ un +1< √ 3 car la fonction racine carrée est strictement croissante sur ] 0 ; +∞ [
Or √ 1=1>0 et √ 3≈1,7< 2 donc 0<1< un +1< √ 3< 2 donc si 0 < un < 2 alors 0 < un+1 < 2 conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n.
b) Démontrer par récurrence que la suite u est croissante.
Il faut donc prouver que pour tout n u n <u n+1 initialisation pour n=0 u0 = 1 et u 1=√ 2>1 donc u 0 <u 1 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour un n donné, donc u n <u n+1 donc u n