Controle d’Algèbre II - 19 Mai 2014

S4/2013-2014

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Exercice 1. Soit A la matrice du sytème linéraire d’odre 3:

= 0

 2x − y + z x − 2y − z
= −1
(S1 )


2x + y + 2z = 1
1.2 - Calculer det A et jusitifier que (S1 ) admet une solution unique.
1.3 - Résoudre (S1 ):
a. Par la méthode du pivot de Gauss.
b. En utilisant la méthode de Cramer.
Exercice 2. Soient a, b, c ∈ R et considérons x, y, z:

x + 3y − z


3x − y + z
(S2 )


−2x + y − 3z
2.1 - Résoudre (S2 ) par la méthode du pivot
B d’ordre 3 telle que



x
 y =B z le système linéaire d’inconnnues
= a
= b
= c

de Gauss et déterminer la matrice

a b  c 2.2 - Justifier que (S2 ) est inversible et calculer par la méthode du pivot de
Gauss l’inverse A−1 de la matrice A du système linéaire (S2 ).
2.3 - Comparer B et A−1 .
Exercice 3. Les matrices suivantes sont-ils diagonalisable?




0 1 1
2 0
1




1 
A1 =  −1 2 1  , A2 =  1 1
0 0 1
−2 0 −1
Exercice 4. Soit (un ) la suite définie par les données initiales u0 , u1 , u2 et un+2 = −un+1 + 2un


−1 2 0


4.1 - Montrer que la matrice A =  1 0 0  est telle que
0 1 0



 un+2 un+1




 un+1  = A  un  . un un−1
4.2 - Diagonaliser A
4.3 - Calculer An−2 et en déduire un en fonction de u0 , u1 et u2
1

Prof. Abdellah El Kacimi