Rien n'est gagné d'avance

Pages: 2 (448 mots) Publié le: 7 novembre 2010
QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdxavec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère: dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2
b b

I

=
0

π 2

1 − cos(2x) 2
π 2

2

dx

=

1 4

[1 − 2 cos(2x) +cos2 (2x)]dx

0

1+cos(2a) , 2

Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne

I

= =

1 4
0

π 2

1 − 2 cos(2x) +

0
π 2

1+ cos(4x) dx 2

1 1 1 1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8
π 2

= =

3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16

0

Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonnemémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler :

sin4 x

= =

eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16
1

4

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANTL'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

2

(on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle de Pascal :

(a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4
Ce qui donne,puisque eiα + e−iα = 2 cos α : 1 (2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6) sin4 x = 16 1 1 3 = cos(4x) − cos(2x) + 8 2 8 Alors, le reste est facile :

1 3x 1 I = sin(4x) − sin(2x) + 32 4 8 3π = 16 Montrons un cas oùn est impair π Par exemple, J = 03 sin5 xdx. Il sut de factoriser de la manière suivante : J =
0
π 3

π 2

0

sin4 x sin xdx (1 − cos2 x)2 sin xdx

=
0
π 3

π 3

et de poser u = cosx, d'où u = − sin x :

J

= −
0

(1 − 2u2 + u4 )u dx
π 3

=

2 u5 −u + u3 − 3 5

−π 3

π 2 π 1 π 2 1 + cos3 − cos5 + 1 − + 3 3 3 5 3 3 5 1 2 1 1 1 2 1 = − + . − . +1− + 2 3 8 5 32...
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