Exercice 1 :
1) a)

IH' =I' O+OH donc IH'=1+cos ( x ) .
I' H=1
OH=cos ( x )

{

•

•

̂
MI' I et ̂
MOI interceptent le même arc de cercle ; on a donc
1
̂
MOI= x rad car M repère sur le cercle
MI' I= ̂
MOI , or ̂
2
̂I mesure x rad. trigonométrique le nombre x , donc MI'
2

I' H x MI' I )=
=cos
En se plaçant dans le triangle I'MH rectangle en H : cos ( ̂
I' M
2
x
I' M I' M
=
=
•
De même, se plaçant dans le triangle I'MI rectangle en M, on a cos
.
2
I' I
2
b) En multipliant les deux dernières égalités :

( )

( )

2

x
2

( ( )) cos =

I' H I' M I' H
×
= et en utilisant la première égalité :
I' M
2
2

x
2

2

( ( )) cos 2)

2 cos π = √ on a donc
4
2

( )

cos π
8

2

( ( ))

2
1+cos π
1+ √
4
2
2+ √ 2
=
=
=
2
2
4

( )

N'oublier que l'équation a, apriori , deux solutions : l'une positive : et l'autre négative :−

√

2+ √ 2
;
4

√

2+√ 2
4

√

2+√ 2 1
= √2+√ 2
0< π < π donc cos π >0 : cos π =
8 2
8
8
4
2

( )

cos π
8

2

+ sin π
8

( ( )) ( ( ))

2

( )

=1 d'où sin π
8

( ( ))

2

=1− cos π
8

2

( ( ))

( 2+4√ 2 )= 2−4√ 2

=1−

même remarque que pour le cosinus :

√

2− √ 2 1
= √ 2−√ 2
0< π < π donc sin π >0 d'où sin π =
8 2
8
8
4
2

( )

( )

Exercice 2 :
•

2
2
cos π +cos π = √ + √ = √ 2 et cos π + π =cos π =0 FAUX
4 4
2
4
4
2
2

( )

( )

(

)

( )

=

1+cos ( x )
.
2

•

pour tout réel x : cos 2 x+sin 2 x=1 d'où cos 2 x=1−sin 2 x VRAI

•

cos ( 0+π ) =cos ( π ) =−1 et cos ( 0 ) =1 FAUX
Remarque : de manière générale, cos ( x+π )=−cos ( x ) pour tout réel x :

•

3π
3π
=−1 FAUX
>0 et sin
2
2

•

π − π = 3 π−2 π = π
2 3
6
6

•

sin

( )

√3 et cos π =
6
2

( )

VRAI

( 32π )=sin (− π2 )=−1 et pourtant 32π ≠− π2

FAUX

Exercice 3 :
12000000001 π 12000000000 π+π 2 π×6000000000+π
=
=
=2 π×1000000000+ π
6
6
6
6 donc le nombre

cos

12000000001 π est repéré sur le cercle par le même point que π donc
6
6

π
3
=cos π = √
( 12000000001
)
(
)
6
6
2