Dm_corrigé_trigonométie_2nde
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Exercice 1 :1) a)
IH' =I' O+OH donc IH'=1+cos ( x ) .
I' H=1
OH=cos ( x )
{
•
•
̂
MI' I et ̂
MOI interceptent le même arc de cercle ; on a donc
1
̂
MOI= x rad car M repère sur le cercle
MI' I= ̂
MOI , or ̂
2
̂I mesure x rad. trigonométrique le nombre x , donc MI'
2
I' H x MI' I )=
=cos
En se plaçant dans le triangle I'MH rectangle en H : cos ( ̂
I' M
2
x
I' M I' M
=
=
•
De même, se plaçant dans le triangle I'MI rectangle en M, on a cos
.
2
I' I
2
b) En multipliant les deux dernières égalités :
( )
( )
2
x
2
( ( )) cos =
I' H I' M I' H
×
= et en utilisant la première égalité :
I' M
2
2
x
2
2
( ( )) cos 2)
2 cos π = √ on a donc
4
2
( )
cos π
8
2
( ( ))
2
1+cos π
1+ √
4
2
2+ √ 2
=
=
=
2
2
4
( )
N'oublier que l'équation a, apriori , deux solutions : l'une positive : et l'autre négative :−
√
2+ √ 2
;
4
√
2+√ 2
4
√
2+√ 2 1
= √2+√ 2
0< π < π donc cos π >0 : cos π =
8 2
8
8
4
2
( )
cos π
8
2
+ sin π
8
( ( )) ( ( ))
2
( )
=1 d'où sin π
8
( ( ))
2
=1− cos π
8
2
( ( ))
( 2+4√ 2 )= 2−4√ 2
=1−
même remarque que pour le cosinus :
√
2− √ 2 1
= √ 2−√ 2
0< π < π donc sin π >0 d'où sin π =
8 2
8
8
4
2
( )
( )
Exercice 2 :
•
2
2
cos π +cos π = √ + √ = √ 2 et cos π + π =cos π =0 FAUX
4 4
2
4
4
2
2
( )
( )
(
)
( )
=
1+cos ( x )
.
2
•
pour tout réel x : cos 2 x+sin 2 x=1 d'où cos 2 x=1−sin 2 x VRAI
•
cos ( 0+π ) =cos ( π ) =−1 et cos ( 0 ) =1 FAUX
Remarque : de manière générale, cos ( x+π )=−cos ( x ) pour tout réel x :
•
3π
3π
=−1 FAUX
>0 et sin
2
2
•
π − π = 3 π−2 π = π
2 3
6
6
•
sin
( )
√3 et cos π =
6
2
( )
VRAI
( 32π )=sin (− π2 )=−1 et pourtant 32π ≠− π2
FAUX
Exercice 3 :
12000000001 π 12000000000 π+π 2 π×6000000000+π
=
=
=2 π×1000000000+ π
6
6
6
6 donc le nombre
cos
12000000001 π est repéré sur le cercle par le même point que π donc
6
6
π
3
=cos π = √
( 12000000001
)
(
)
6
6
2