Roc math

Pages: 42 (10323 mots) Publié le: 17 mars 2013
thQUESTION de COURS (ROC) pour l'épreuve écrite du BAC S (Tronc commun + Spécialité Maths)
A l'attention du lecteur... Cette liste est non exhaustive et certaines autres démos de cours peuvent apparaître. Toujours penser à bien suivre les prérequis donnés par l'énoncé (qui ne sont pas nécessairement ceux donnés en classe pour des raisons de progression du cours)… L'auteur fournit une coted'amour (qui n'engage que lui ! ) des démonstrations de théorèmes à connaître ou à maîtriser. ♥ ♥♥ ROC peu vraisemblable : il suffit d'avoir compris le principe ROC vraisemblable : il faut bien maîtriser le principe et savoir retrouver la méthode

♥♥♥ ROC probable : démonstration à savoir faire les yeux fermés et les mains attachés dans le dos...

Suites :
ROC 1 : Unicité de la limite d'une suite♥♥
Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Proposition : Si la suite (un ) a une limite finie L, alors cette limite L est unique. Démo : Par l'absurde Supposons que la suite (un ) admette deux limites distinctes L1 et L2 avec L1 < L2. On choisit un rayon ε suffisamment petit pour que les L1 L2 intervalles I 1= ] L 1− ε; L 1+ ε[ et I 2 = ] L 2 − ε; L 2 + ε[ soient ε ε disjoints (i.e.leur intersection est vide). La suite (un ) tend vers L1 donc à partir d'un certain rang N1, tous les termes un sont dans I 1 . La suite (un ) tend vers L2 donc à partir d'un certain rang N2, tous les termes un sont dans I 2 . Donc pour n supérieur à la fois à N1 et N2, un est à la fois dans I 1 et dans I 2 , ce qui impossible. Ce qui prouve que la limite est unique.

ROC 2 ♥♥
Prérequis :définition de la limite infinie d'une suite, d'une suite croissante, d'une suite majorée Proposition : Si une suite est croissante et non majorée alors elle diverge vers +∞ Démo : Soit (un ) une suite croissante et non majorée.

(un ) n'est pas majorée donc pour tout A > 0 , il existe n0 tel que un0 > A .
Or (un ) est croissante donc pour tout n ≥ n0 , un ≥ un0 > A . Donc pour tout A > 0 , il existeun rang n0 tel que un > A pour tout n ≥ n0 : c'est-à-dire lim un = +∞ .
n →+∞

ROC 3 ♥
Prérequis : définition de la limite finie d'une suite Théorème : Soit (un ) une suite définie par récurrence par un +1 = f (un ) ; si (un ) converge vers L et si f est une fonction continue en L , alors L = f ( L) .
n →+∞

Démo : Si (un ) converge vers L alors lim un +1 = L et si f est continue en L alorslim f (un ) = f ( L ) .
n →+∞

Par passage à la limite dans les deux membres de l'égalité un +1 = f (un ) , il vient L= f ( L) .

ROC 4 : Convergence des suites adjacentes ♥♥♥ Prérequis : (i) définition de deux suites adjacentes ( (un ) , (vn )

et lim (un − vn ) = 0 ).
n →+∞

(ii) toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) converge. convergent Théorème : Si(un ) et (vn ) sont adjacentes, alors (un ) et (vn ) convergent vers la même limite. Démo : Soit wn = vn − un ; on étudie les variations de la suite ( wn ) : Pour tout n ∈ ℕ , wn +1 − wn = vn +1 − un +1 − vn + un = (vn +1 − vn ) − (un +1 − un ) donc wn +1 − wn ≤ 0 .
≤ 0 car ( vn ) ց n →+∞ ≥ 0 car ( un ) ր

La suite ( wn ) est donc décroissante et lim wn = 0 : donc tous les wn sont positifs et ∀n∈ ℕ, vn ≥ un . De plus, (un ) est croissante donc ∀n ∈ ℕ, u0 ≤ un . De plus, (vn ) est décroissante donc, ∀n ∈ ℕ, vn ≤ v0 Pour tout n ∈ ℕ , u0 ≤ un ≤ vn ≤ v0

Finalement, (un ) est croissante et majorée par v0 , donc (un ) converge. De même, (vn ) est décroissante et minorée par u0 donc (vn ) converge. Enfin, lim un − lim vn = lim (un − vn ) = 0 donc lim un = lim vn . CQFD
n →+∞ n →+∞ n →+∞ n→+∞ n →+∞

A noter que les démonstrations du théorème des gendarmes et de comparaison pour les suites sont très semblables à celles fournies pour leurs équivalents pour les fonctions (voir page suivante).

Généralités sur les fonctions :
ROC 5 : Théorème de comparaison (à savoir adapter aux suites) ♥♥♥
Prérequis : définition de la limite infinie d'une fonction Théorème : Soient f et g...
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