Résolution numérique de l'équation de la chaleur
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PLAN DE TRAVAIL I-) INTRODUCTION II-) MISE EN EQUATION III-) RÉSOLUTION DE L’EQUATION III-1) DISCRÉTISATION III-2) EXEMPLES DE RÉSOLUTION IV-) CONCLUSION Introduction Les transferts thermiques sont des outils indispensables pour un ingénieur en énergie vu ses multiples applications en industrie, isolation thermique, échangeur de chaleur… Il existe trois modes de transferts thermiques: la convection, le rayonnement et la conduction qui sont régis respectivement par la loi de Newton, loi de Stefan-Boltzmann et la loi de Fourier. Cette dernière est le transfert de chaleur au sein d’un milieu opaque sans déplacement de matière sous l’influence de la température. II-MISE EN EQUATION Pour établir l’équation de la chaleur en conduction bidimensionnelle en régime permanent avec génération de chaleur, considérons la représentation suivante : Tx+Δx : temperature x+Δx Ty+Δy : temperature y+Δy Tx-Δx : temperature x-Δx Ty-Δy : temperature y-Δy Qx1=flux de chaleur entrant dans 1 Qy1=flux de chaleur entrant dans 1 Flux net(Qx+Qy) = (Qx1-Qx2) + (Qy1-Qy2) Flux generer = Q0 Flux stocké (Qst) En effectuent le bilant thermique à notre système on a : Flux net + Flux genere = Flux stocke (Qx1-Qx2) + (Qy1-Qy2) + Q0 = Qst -λΔyLTx-∆x-2Tx+Tx+∆xΔx-λΔxLTy-Δy-2Tx+Ty+ΔyΔy+ΔxΔyLq0=ρCpΔxΔyLΔTΔt En divisant le tout par –λΔxΔyL on obtient : -Tx-∆x-2Tx+Tx+∆xΔx2+Ty-Δy-2Tx+Ty+ΔyΔy2+q0λ=ρCpΔTλΔt (1) En effectuant un développement limité d’ordre 4 on a: Tx-∆x=Tx-∆x∂T∂x+∆x22∂2T∂x2-∆x36∂3T∂x3+o(∆x4) Tx+∆x=Tx+∆x∂T∂x+∆x22∂2T∂x2+∆x36∂3T∂x3+o(∆x4) Ty-∆y=Ty-∆y∂T∂y+∆y22∂2T∂y2-∆y36∂3T∂y3+o(∆y4) Ty+∆y=Ty-∆y∂T∂y+∆y22∂2T∂y2+∆y36∂3T∂y3+o(∆x4) En posant Tx-∆x+Tx+∆x=2Tx+∆x2∂2T∂x2+o(∆x4) Ty-∆y+Ty+∆y=2Ty+∆y2∂2T∂y2+o(∆y4) Alors ∂2T∂x2=Tx-∆x-2Tx+Tx+∆xΔx2 (2) ∂2T∂y2=Ty-∆y-2Ty+Ty+∆yΔy2 (3) En injectant (2) et (3) dans (1) on obtient ∂2T∂x2+∂2T∂y2+q0λ=ρCpΔTλΔt Comme nous sommes en régime permanant alors