1 POLYNÔMESdu cours d’algèbre de Maths Spé MP

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Polynômes n n

1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ∈ N. ∀a ∈ K, P(X) = k=0 P(k) (a) (X − a)k et en particulier P(X) = k!

k=0

P(k) (0) k X . k!

Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak =

P(k) (0) . k!

2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q et Q(a) = 0 (si et seulement si P est divisible par (X − a)k et pas par (X − a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q (si et seulement si P est divisible par (X − a)k ). k−1 Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X − a)k est i=0 P(i) (a) (X − a)i . i!

Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). a est racine de P d’ordre k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0. 3) Structure d’anneau de K[X]. Définition. Un idéal de K[X] est une partie I de K[X] telle que : Œ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +),  ∀P ∈ I, ∀Q ∈ K[X], PQ ∈ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ∈ K[X]}. Théorème. (K[X], +, ×) est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et