soso
EXERCICE N°1
Dans le plan orienté ABI est un triangle équilatérale tel que : ( AB, AI )
3
2
.Soit Ω le
symétrique de B par rapport à (AI)
1ab23abc-
Soit R la rotation d’angle
qui transforme A en I
3
Montrer que Ω est le centre de R
Soit C = R(B).Montrer que I est le milieu de du segment [AC]
A tout point M de [AB] distinct de A et de B,on associe le point M’ de [IC] tel que AM =
IM’.Montrer que le triangle ΩMM’ est équilatéral
Soit G le centre de gravité du triangle ΩMM’ et S la similitude directe de centre Ω qui transforme M en G
Préciser le rapport et l’angle de S
Montrer que S(B)= I et construire le point A’ = S(A)
Montrer que les points I,G et A’ sont alignés
Correction;
C
M'
60
I
G
A'
A
1) ( AB, AI )
3
2
et
M
S( AI ) ( B ) et R= R
( )
3
S( AI ) ( B)
a) S( AI ) ( I )
S( AI ) ( A)
I
B
AI équilatérale direct
A
R(A)=I
A
I
( A, I )
3
2
et par suit
centre de R
b) on a R (B)=C et R (A)=I alors AB=IC=IA et on a http://mongi.amorri.site.voila.fr/ Page 1
( IA, IC )
( IA, AB) ( AB, IC ) 2
( AI , AB) ( AB, IC ) 2
3
3
2
et par suit A,I,C alignée donc I=A C
0 2
AM IM '
2) On a ( AM , IM ') ( AB, AI ) 2
3
2
M
M'
Et on a R (A)=I donc R (M)=M' alors
( M, M)
S similitude direct de centre
Soit J=
M k=
tel que S(M)= G et S(
G 1 1
=
2 J 2 cos( )
6
1 2
2 3
I
2 K
( A)
A'
3
A
3
( A, A ')
A'
S M
A'
S B
6
S
donc ( , 3 , )
2
3 6
3
3
S(B)=I
2
donc A ' est le centre du gravitée de
6
AI
2
G
S A
6
G
M
d’où k=
1 1
2 cos( )
6
ABI est un losange ; k=I A et
( B, I )
c)
)=
3
1
= et ( M , G )
3 3
I
B
b) on a