Maths
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17/11/2012 Exercice 1 a) |7 − 3x| 11 équivaut à −11 −18 4 −3 4 − 3Corrigé de l’IE du 15/10/12
1S1
7 − 3x −3x x x
11 4
−18 −3 6
D’où
S= −
4 ; 6 3
b) 6 −
x +3 0 2 x −6 équivaut à − + 3 2 x 6 +3 2 x + 3 −6 ou 2 x x −9 ou 2 2 x −18 ou x
x +3 2 3 6
6
D’où
S = ] − ∞ ; −18] ∪ [6 ; +∞[
Exercice 2 Résolution de l’équation f (x) = −2 où f est la fonction définie sur IR par f (x) = |2 − x| − |2x − 10| Tableau de signes : x 2−x 2x − 10 −∞ 2 + − 0 − − 0 5 − + +∞
Expressions de f sans le symbole | | : x |2 − x| −∞ 2 5 +∞ −2 + x
2 − x 0 −2 + x
|2x − 10| −2x + 10 −2x + 10 0 2x − 10 f (x) x−8 3x − 12 −x + 8
• Sur ] − ∞ ; 2], f (x) = −2 si et seulement si x − 8 = −2 ce qui équivaut à x = 6. 6 ∈ ] − ∞ ; 2] donc ce n’est pas une solution de l’équation. 10 • Sur [2 ; 5], f (x) = −2 si et seulement si 3x − 12 = −2 ce qui équivaut à x = . 3 10 ∈ [2 ; 5] donc c’est une solution de l’équation. 3 • Sur [5 ; +∞[, f (x) = −2 si et seulement si −x + 8 = −2 ce qui équivaut à x = 10. 10 ∈ [5 ; +∞[ donc c’est une solution de l’équation. L’ensemble des solutions de l’équation f (x) = −2 est donc S = 10 ; 10 3
Exercice 3 f est la fonction définie sur IR \ {1} par f (x) = Pour tout réel h > 0, on a : f (1 + h) = −(1 + h)2 + 4(1 + h) − 2 1+h−1 −1 − 2h − h2 + 4 + 4h − 2 = h −h2 + 2h + 1 = h 1 = −h + 2 + h
−x2 + 4x − 2 . x−1
D’où : 1 f (1 − h) = h + 2 − h On a donc : 1 1 h+2− −h+2+ f (1 − h) + f (1 + h) h h = 2 2 4 = =2 2
Le point Ω(1 ; 2) est donc bien un centre de symétrie de Cf . Exercice 4 a) P (1) = 0 b) P (x) = (x − 1)(2x2 − 3x − 11) √ √ 3 − 97 11 3 + 97 c) S = −∞ ; ∪ 1; ∪ ; +∞ 4 8 4 −2x4 + 3x2 + 5 < 0 √ √ − 10 10 S = −∞ ; ∪ ; +∞ 2 2 Exercice 5 P (x) = 2x3 − 5x2 − 8x + 11