Stoch

6035 mots 25 pages

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires
AKadrani
Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA)

Rabat, Avril 2013

Chapitre 1

Processus stochastique et fonctions aléatoires

Introduction
Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système:
1

Une famille (Xt )t∈T de v.a déﬁnies sur (Ω, F, P) (donné) telles que: Xt : (Ω, F, P) −→ (E , B) w −→ Xt (w ) = X (t, w ). (E , B) espace mesurable, appelé espace des "états".

2

On regarde, pour w ∈ Ω ﬁxé, l’application X (., w ) : T −→ (E , B) t −→ X (t, w ) = Xt (w ). ϕ : (Ω, F, P) −→ E T w −→ X (t, w ) ∈ T . ϕ est dite fonction aléatoire.(Il existe une tribu B T pour laquelle ϕ est F − B T mesurable).
Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires

Introduction
Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système:
1

Une famille (Xt )t∈T de v.a déﬁnies sur (Ω, F, P) (donné) telles que: Xt : (Ω, F, P) −→ (E , B) w −→ Xt (w ) = X (t, w ). (E , B) espace mesurable, appelé espace des "états".

2

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Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires

Introduction
Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système:
1

Une famille (Xt )t∈T de v.a

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L ∗ ). Donc la fonction nulle est dans W (resp. W ∗ ). Soient f et g deux éléments de W (resp. W ∗ ) et λ et µ deux nombres complexes.….

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partie e On va construire une suite de fonctions f0 , f1 , f2 , . . . , fn , . . . , d´rivables sur I et e v´riﬁant : e ∀x ∈ I, ∀n ∈ N ∗ , (2) fn (x) = fn−1 (x) − fn….

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y ln t = t2 − 1 Une fonction f est solution de la première équa-diff si : ∀x ∈ R, f (x) − (2x2 + 1)f (x) + f (x)2 = xex Elle est solution de la deuxième équa-diff si : ∀t > 0, f (3) (t) + tf (t)f (t) + f (t) ln t = t2 − 1 Exercice 1.….

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TS − Devoir n°7 − DNS x3 + 4 x2 − 3 Soit la fonction f définie sur R par f(x) = . x2 + 1 → Soit cf sa courbe représentative dans un repère (O ; i , j ) : unités 1 cm. 1) Calculer les limites de f en + ∞ et en – ∞. cx + d 2) Déterminer les réels a, b, c, d, tels que f(x)….

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On dit que F est un filtre si : (b) ∀ X ∈ F, ∀ Y ⊃ X, Y ∈ F  (c) ∅ ∈ /F 1. Que pourrait-on dire d’une famille non vide F de P(E) ne v´erifiant que (a) et (b) ? 2. P(E) est-il un filtre sur E ? A quelle condition P(E) − {∅} est-il un filtre sur E ? 3.….

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2a. Montrer qu’il existe une forme linéaire λ et un vecteur e non nuls de E tels que : ∀x ∈ E , f (x) = λ(x)e 2b. Montrer que T r (f ) = λ(e) (on pourrait compléter le vecteur e en une base de E).….

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e e e e e a propos´ est X(t) = exp(tA)X0 . e 1 − 3t 2 + 3t On obtient ainsi X(t) = e2t Probl`me : s´ries de Taylor et d´veloppements en s´rie enti`re. e e e e e +∞ 1 =….

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