Mathématique
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Premier examen blanc1. a) b) c) 2. a) b) x →a − x →a
lim f ( x ) = L
lim f ( x ) = ∞ x →∞
lim f ( x ) = L
Faux. Une fonction qui admet une discontinuité par trou en x = a est telle que lim f ( x ) existe. x →a
Faux. La fonction f ( x ) = x est une fonction continue sur
[ −1, 1] ,
mais
c) d)
f ( x ) = x ne l’est pas sur cet intervalle, parce qu’elle n’est pas définie partout sur cet intervalle. Vrai. Il s’agit essentiellement de la définition de la continuité d’une fonction. Faux. Une fonction qui admet une discontinuité par trou en x = c n’est pas définie en ce point, mais elle est telle que lim f ( x ) existe. x →c
3.
a)
2
b)
10
0 -6 -3 0 3
-10
© ERPI
-1-
c)
6 5 4 3 2 1 0 -3 -1 1 3
4.
a)
b)
( x − 3 ) ( x − 1) x 2 − 4x + 3 x −1 = lim− = lim− = −∞ et 2 2 x →3 x − 6 x + 9 x →3 x →3 x − 3 ( x − 3) ( x − 3 ) ( x − 1) x 2 − 4x + 3 x −1 lim+ 2 = lim+ = lim+ = ∞, 2 x →3 x − 6 x + 9 x →3 x →3 x − 3 ( x − 3) x 2 − 4x + 3 de sorte que lim 2 n’existe pas. Par conséquent, la réponse est D. x →3 x − 6 x + 9 x 3 ( 50 000 − 1x + 100 000 x 3 ) 50 000 x 3 − x 2 + 100 000 lim = lim x →∞ x 6 − 5 000 x 5 − 40 000 x →∞ x 6 (1 − 5 000 x + 40 000 x 6 ) lim− = lim
50 000 − 1x + 100 000 x 3 =0 x →∞ x 3 1 − 5 000 + 40 000 6 ( ) x x
c)
Par conséquent, la réponse est C. Les deux composantes de la fonction f ( x ) étant des polynômes, donc des fonctions continues, il suffit de confirmer la continuité de la fonction au point où elle change de nature. Si la fonction est continue en x = 3 , on doit avoir lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 3 ) . Or, f ( 3 ) = 9k − 1, lim− f ( x ) = lim− ( kx + 1) = 3k + 1 x →3 x →3 x →3 x →3
et lim+ f ( x ) = lim+ ( kx − 1) = 9k − 1 . Il faut donc que 3k + 1 = 9k − 1, de sorte
2
x →3 x →3
que k = d)
1
3
. Par conséquent, la réponse est E. et, de manière
( x + 2 )2 x2 + 4x + 4 1 lim− 3 = lim− = lim− = −∞ 3 2 x →−2 x + 6 x + 12 x + 8 x →−2 ( x →−2 x + 2 x + 2)