Stochastique

Pages: 105 (26241 mots) Publié le: 18 février 2011
Martingales et calcul stochastique
Master 2 Recherche de Math´matiques e Universit´ d’Orl´ans e e
Nils Berglund Version de Juillet 2010

Table des mati`res e
I Processus en temps discret
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3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 9 . 11 13 13 14 14 16

1 Exemples de processus stochastiques 1.1 Variables al´atoires i.i.d. . . . . . . . . . e 1.2 Marches al´atoires et chaˆ e ınes de Markov 1.3 Urnes de Polya . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Le processus de Galton–Watson . . . . . 1.5 Marches al´atoires auto-´vitantes . . . . e e 1.6 Syst`mes dynamiques . . . . . . . . . . e2 Construction g´n´rale des processus e e 2.1 Pr´liminaires et rappels . . . . . . . e 2.2 Distributions de dimension finie . . . 2.3 Noyaux markoviens . . . . . . . . . . 2.4 Le th´or`me de Ionescu–Tulcea . . . e e

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3 Filtrations, esp´rance conditionnelle e 19 3.1 Sous-tribus et filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Esp´rance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 e 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Martingales 4.1Definitions et exemples . 4.2 In´galit´s . . . . . . . . e e 4.3 D´composition de Doob, e 4.4 Exercices . . . . . . . . 27 27 28 29 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . processus croissant . . . . . . . . . . .

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5 Temps d’arrˆt e 33 5.1 D´finition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 e 5.2 Processus arrˆt´, in´galit´ de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ee e e 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Th´or`mes de convergence e e 6.1 Rappel: Notions de convergence 6.2 Convergencepresque sˆre . . . u 6.3 Convergence dans Lp , p > 1 . . 6.4 Convergence dans L1 . . . . . . 6.5 Loi 0 − 1 de L´vy . . . . . . . . e 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . 39 39 40 42 43 46 46

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` TABLE DES MATIERES

II

Processus en temps continu
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51 51 52 54 56 58 60 61 61 64 65 66 68 71 71 73 75 77 77 77 77 77

7 Le mouvement Brownien 7.1 Limite d’´chelle d’une marche al´atoire e e 7.2 Construction du mouvement Brownien 7.3 Propri´t´s de base . . . . . . . . . . . ee 7.4 Temps d’arrˆt . . . . . . . . . . . . . . e 7.5 Mouvement Brownien etmartingales . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 8 L’int´grale d’Itˆ e o 8.1 D´finition . . . . . . . . e 8.2 Propri´t´s ´l´mentaires . e e ee 8.3 Un exemple . . . . . . . 8.4 La formule d’Itˆ . . . . o 8.5 Exercices . . . . . . . .

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