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Méthodes numériques pour la finance

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Méthodes numériques pour la finance
Olivier Guibé 4 janvier 2011

Table des matières
1 Les outils de modélisation pour les options 1.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modèle du marché financier . . . . . . . 1.3 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . 1.4 Le modèle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 5 6 10 10 11 12 12 13 17 17 18 19 22 23 24 24 25 27 29 30 31 31 31 32 32 32 34 37 39 39 41 41

2 Black et Scholes analytique 2.1 Généralités sur les EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 De Black et Scholes à l’équation de la chaleur . . . . . . . 2.3 Transformations importantes de l’équation de la chaleur 2.4 Solution analytique de l’équation de la chaleur . . . . . . 2.5 Formules de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Différences finies 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Différences finies pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Conditions sur le bord dépendantes du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Schémas numériques pour Black et Scholes en variables modifiées . . . . . . . . . .

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    5 5 5 5 6 8 8 2 Le mod`le de Black et Scholes et la volatilit´ implicite e e 2.1 Le mod`le de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.1 Portefeuille autofinan¸ant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.1.2 Evaluation risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Option sur un actif versant des dividendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .….

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