Structures

Pages: 14 (3338 mots) Publié le: 14 mars 2011
Chapitre: STRUCTURES:

COMPLÉMENTS

1

Séries dans un evn

Définition 1 :
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini
1 1 1 1 2 2 3 3 4

Table des matières
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau

Z

Exemple 1 :
G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 etaba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments, il suffit de montrer que K = {1, a, b, ab, ba, b2 } est un sous groupe de G, à l’aide d’une table de multiplication. 1 1 a b b2 ab ba a a 1 ba ab b2 b b b ab b2 1 ba a b2 b2 ba 1 b a ab ab ab b a ba 1 b2 ba ba b2 ab a b 1

L'anneauxZ/nZ K[X]

Polynôme minimal Compléments

1

Sous groupes de Z
Théorème 1 :
Les sous groupes de Z sont de la forme nZ. c/c : H = K

1 a b b2 ab ba

Exercice 1. Montrer que H est isomorphe à

3

Preuve Déja pour tout n ∈ N, nZ est bien un sous groupe de Z. Soit maintenant H un sous groupe quelconque de Z, si H = {0}, on prend n = 0, sinon Soit n = min{x ∈ H, x > 0}, H est un sousgroupe de Z, donc nZ ⊂ H, soit maintenant x ∈ H, on effectue la division euclidienne par n, x = nq + r, avec r < n. r = x − nq, donc r ∈ N ∩ H et par minimalité de n, on obtient r = 0 et donc x = nq ∈ nZ, et par suite H = nZ.

Exercice 2. Soit x un élément d’un groupe d’ordre fini, montrer que pour tout k ∈ N∗ : o(x) o(x k ) = o(x) ∧ k Exercice 3. Soient G un groupe, H et K deux sous groupes deG. on pose HK = {h.k/h ∈ H, k ∈ K} 1. Montrer que : HK est un sous groupe de G ssi KH = KH.

2

Groupe engendré

• Soit A une partie d’un groupe G, l’intersection de tous les sous groupes de G contenant A est un sous groupe de G, appelé le sous groupe de G engendré par A et noté 〈A〉, c’est d’ailleurs le plus petit sous groupe de G contenant A. Réciproquement si H est un sous groupe de G, ets’il existe une partie A ⊂ G, telle que H = 〈A〉, alors A s’appelle : partie génératrice de H.

2. On suppose que G est fini, que HK est un sous groupe de G. card(H).card(K) Montrer que card(HK) = card(H ∩ K)

4

Idéal d’un anneau

Remarque 1 :
A est un sous groupe de G si, et seulement si 〈A〉 = A.

Rappelons qu’un anneau est un ensemble muni de deux LCI, l’une notée additivement etl’autre multiplicativement et tel que : 1. (A, +) est un groupe commutatif 2. La loi . est associative et admet un élément neutre noté 1. 3. la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

3

Groupe monogène, groupe cyclique

Définition 2 :
Soit (A, +, .) un anneau commutatif. Une partie I de A est dite un idéal de A ssi : 1. (I, +) est un sous groupe de (A, +). 2. ∀a ∈ I, ∀x ∈ A :ax ∈ I (on dit que les éléments de I sont absorbants).

Soient G un groupe et a un élément de G. On montre sans peine que le sous groupe engendré par le singleton {a} est le sous groupe noté 〈a〉 et défini par : 〈a〉 = {a k , k ∈ Z} Ce groupe s’appelle le sous groupe monogène engendré par l’élément a. L’application ϕ : Z → G, k → a k est un morphisme de groupe dont l’image Imϕ est le sous groupemonogène engendré par a. – Si ϕ est injective, alors < a > est isomorphe a Z. on dit que a est d’ordre infini. – Supposons ϕ est non injective. kerϕ qui est un sous groupe de Z est de la forme nZ, n est le plus petit entier non nul verifiant a n = e, n s’appelle l’ordre de a et se note o(a). n = o(a) ssi (a n = e et a p = e ssi n divise p) Dans ces conditions le sous groupe monogène < a > est réduità l’ensemble de cardinal n suivant : < a >= {e, a, .., a
n−1

Proposition 1 :
Soit I un idéal de A. I = A ⇐⇒ 1A ∈ I Preuve =⇒) trivial. ⇐=) Soit x ∈ A,

1A ∈ I =⇒ x = 1A x ∈ I =⇒ I = A.

Remarque 2 :
Par conséquent si I est un idéal contenant aux moins un élément inversible a, alors 1A = aa−1 ∈ I, par suite I ne peut être aussi que l’idéal A.

}

s.hajmi@gmail.com

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