Mémento de statistique

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Tables de lois de probabilités usuelles
Ces tables présentent les principales caractéristiques des lois de probabilité les plus usuelles. Pour chaque loi de probabilité, on donne son nom usuel, son symbole, son support et son espérance. Les lois discrètes sont définies par les probabilités élémentaires et la fonction génératrice, les lois continues par la densité et la fonction caractéristique. Pour les lois unidimensionnelles, on donne la variance, et pour les lois multidimensionnelles, on donne la matrice de covariance.
Les fonctions spéciales suivantes sont utilisées :
•

+∞ − x a −1 e x dx .
0

la fonction Gamma est définie pour a > 0 par Γ(a ) = ∫

Propriétés : ∀n ∈ !*, Γ(n) = (n − 1)! , Γ(1) = 1 , Γ(1 / 2) = π , ∀a > 1, Γ(a ) = (a − 1)Γ(a − 1) .
•

la fonction Béta est définie pour a > 0 et b > 0 par β (a, b) =

Γ (a)Γ(b) 1 a −1
= x (1 − x) b−1 dx .
Γ (a + b) ∫0

Table 1 : Variables aléatoires réelles discrètes

Nom et Symbole

Support

Probabilités élémentaires

Espérance

Variance

P( X = k )

Loi de Bernoulli B ( p ) p ∈ ]0,1[

Loi binomiale B (n, p ) p ∈ ]0,1[ , n ∈ !*

Loi binomiale négative BN (n, p ) p ∈ ]0,1[ , n ∈ !*

Loi de Poisson P(λ )

p ∈ ]0,1[

Loi hypergéométrique H ( N , m, n)
N ∈ !* , (m, n) ∈ {1,..., N }2

génératrice

{0,1}

P ( X = 0) = 1 − p
P( X = 1) = p

p

p (1 − p)

1 − p + pz

{0,1,..., n}

Cnk p k (1 − p ) n − k

np

np (1 − p )

(1 − p + pz )n

{n, n + 1,...}

Ckn−−11 p n (1 − p )k − n

n p n(1 − p)



pz


1
−
(
1
−
p
)
z



λ

λ

eλ ( z −1)

pz
1 − (1 − p ) z

!

λ ∈ "+*
Loi géométrique G ( p )

Fonction

e−λ

λk k! p

2

!*

p (1 − p )k −1

1 p 1− p

{0,..., min(m, n)}

Cmk C Nn −−km

nm
N

nm( N − n)( N − m)

C Nn

p

2

N 2 ( N − 1)

n

2

Mémento de statistique
Table 2 : Variables aléatoires réelles continues

Nom et Symbole

Densité f X (x )

Support

Espérance

Variance

Fonction caractéristique Loi uniforme U [a, b ]

[a, b]

[a, b] ⊂ "

1
1 [ a ,b ] ( x ) b−a Loi normale ou de