LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ
Remarque
Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre X dans l'intervalle I = ]0 ; 10].
L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas utiliser les probabilités vues jusqu'à présent et qui s'appliquaient à un univers fini. En effet, puisqu'il y a une infinité de nombres dans l'intervalle I, la probabilité de chacun de ces nombres est nulle et les raisonnements que l'on faisait en additionnant des probabilités d'éventualités ne sont plus applicables. Il faudra dans ce cas raisonner sur des probabilités d'intervalles. Exercice 01

(voir réponses et correction)

On considère l'intervalle I = ]0 ; 10] et on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir de façon aléatoire un nombre dans cet intervalle.
1°) On coupe l'intervalle I en 10 intervalles de même amplitude :
]0 ; 1] ; ]1 ; 2] ; ]2 ; 3] ; ]3 ; 4] ; ]4 ; 5] ; ]5 ; 6] ; ]6 ; 7] ; ]7 ; 8] ; ]8 ; 9] ; ]9 ; 10]
On considère l'univers Ω que l'on obtient en prenant la borne supérieure de chaque intervalle et on choisit la probabilité uniforme sur Ω.
On a Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } et chaque éventualité de Ω a une probabilité de 1 .
10
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω.
Justifier que la probabilité de l'événement « X est inférieur ou égal à π », notée p(X £ π), est égale à 3 .
10
2°) On coupe l'intervalle I en 100 intervalles de même amplitude :
]0 ; 0,1] ; ]0,1 ; 0,2] ; ]0,2 ; 0,3] ; …… ; ]9,8 ; 9,9] ; ]9,9 ; 10]
On considère l'univers Ω = { 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; ? ; 9,8 ; 9,9 ; 10 } et la probabilité uniforme sur Ω.
On choisit de façon aléatoire un nombre X dans Ω. Déterminer p(X £ π).
3°) Même question que précédemment en coupant l'intervalle I en 1 000 intervalles de même amplitude, puis en 10 000 intervalles de même amplitude. (On ne demande pas de justification)
4°) Si on choisit de façon aléatoire un nombre X dans l'intervalle I, conjecturer la valeur de p(X £ π) ?
Conjecturer les valeurs de p(X £ 4) ; p(X >