Td echantillonnage test hypothese

Pages: 6 (1480 mots) Publié le: 25 mai 2013
Rappels sur les intervalles de confianceQuelques rappels sur les intervalles de confiance
I/ Généralités
Soient : X une variable aléatoire de loi paramétrée par θ et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. 1) Principe d’un intervalle de confiance Plutôt que d’estimer ponctuellement la vraie valeur inconnue du paramètre θ , on recherche un intervalle recouvrant «très vraisemblablement» cette vraie valeur. Définition : On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 1− α du paramètre θ tout intervalle IC tel que : P( IC ∋ θ ) = 1 − α pour α ∈[ 0,1] fixé. Les bornes de l’intervalle de confiance IC dépendent de l’échantillon, elles sont donc aléatoires. Par abus de langage, on note souvent P(θ ∈ IC ) = 1 − α . Remarquons que si α augmente (ou que si n augmente),l’amplitude de l’intervalle de confiance diminue.

2) Vocabulaire La probabilité α pour que l’intervalle de confiance ne contienne pas la vraie valeur peut être répartie différemment de part et d’autre des bornes de l’intervalle de confiance. Ecrivons donc α = α1 +α2 où α1 et α2 mesurent respectivement les risques à gauche et à droite de dépasser un seuil plancher ou plafond. • L’intervalle de confianceest dit bilatéral quand α 1 ≠ 0 et α 2 ≠ 0 . Si α 1 = α 2 = symétrique. Il est dissymétrique sinon. • L’intervalle de confiance est dit unilatéral si α 1α 2 = 0 : - quand on veut assurer une valeur minimale au paramètre à estimer, on considère α 1 = α et α 2 = 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC = [ a ,+∞[ . - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prendα 1 = 0 et α 2 = α et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC = ] − ∞, b] . 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité. Définition : une fonction pivotale pour le paramètre θ est une fonction des observations ( X 1,..., Xn) et du paramètre θ dont la loi ne dépend pas du paramètre θ. On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés.

α
2

, l’intervalle est dit

______________________________________________________________________________________
Sylvie Rousseau 1

II/ Intervalles de confiance pour l’espérance
On envisage deux cas : • • la variable aléatoire mesurée est normale et le nombre de réalisations estquelconque, la variable aléatoire mesurée n'est pas normale et le nombre de réalisations est important. Dans ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite. On parlera d’intervalle de confiance asymptotique.
n

Dans la suite on considère X ~ N(m,σ 2 ) et X 1 ,...,X n n variables i.i.d selon la loi de X. On définit la moyenne empirique X n = 1)Cas où la variance est connue Après centrage et réduction de la moyenne empirique, on obtient :
⎞ ⎛ Xn −m On a : P⎜ − u ≤ n ≤ u⎟ = 1 − α σ ⎠ ⎝

1 n

∑X
i =1

n

i

et la variance empirique modifiée S n' 2 =

1 n −1

∑( X
i =1

i

− Xn) .
2

n

Xn −m

σ
α
2

∼ N ( 0,1)

où u est le fractile d’ordre 1 −

de la loi N ( 0,1) .

Ce qui revient à :

⎛ σ σ ⎞ P⎜ Xn − u ≤ m ≤ Xn + u ⎟ = 1− α . ⎝ n n⎠

Quand la variance est connue, l’intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l’espérance d’une loi normale s’écrit donc au niveau 1− α sous la forme suivante :
⎡ σ σ ⎤ IC ( m ) = ⎢ x n − u , xn + u ⎥ n n⎦ ⎣

x n est la réalisation de X n sur l’échantillon.

Remarque : si α = 5% , le fractile d’ordre 0,975 de la loi normale centrée réduitecorrespond à 1,96. si α = 10% , le fractile d’ordre 0,95 de la loi normale centrée réduite vaut environ 1,64.

2) Cas où la variance est inconnue On a :
n Xn −m
' Sn

∼ St (n − 1)

(loi de Student à n-1 degrés de libertés).

d'où

⎛ Xn −m ⎞ P⎜ − t ≤ n ≤ t⎟ = 1 − α ⎠ ⎝ S n'

où t est le fractile d’ordre 1 −

α
2

de la loi St (n − 1)

' ' ⎛ Sn Sn ⎞ ⎟ = 1− α . et donc P⎜ X n − t ≤...
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