Théorème de thales

Pages: 5 (1115 mots) Publié le: 21 janvier 2013
THEME :
THEOREME DE THALES
Exercices corriges Exercice 1 :
On sait que les droites (BC) et (MP) sont parallèles De plus, on a : AP = 4 AM = 5 et AC = 6 . Calculer AB.

Correction :
Dans les triangles ACB et APM • P ∈ [AC] • M ∈ [AB] • Les droites (PM) et (BC) sont parallèles ( hypothèse ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : AB AC BC = = AM AP PM AB 6 BC Soit = = 5 4 PM Calculde AB : AB 6 = 5 4 / 5× 6 5×3×2 15 Donc AB = = = = 7,5 / 4 2×2 2

AB = 7,5

Exercice 2 :
Dans les deux cas suivants, déterminer la longueur x .

Correction :
Dessin situé à gauche
Dans les triangles ACD et ABE • B ∈ [AC] • E ∈ [AD] • Les droites (BE) et (CD) sont parallèles ( hypothèse ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : AC AD CD = = AB AE BE 5 AD x = = 2 3 AE Calcul de x( c’est à dire CD ) : 5 x = 2 3 5 ×3 15 Donc =x soit x = = 7,5 2 2

x = 7,5

Dessin situé à droite
Dans les triangles RCA et RVB • B ∈ [RA] • V ∈ [RC] • Les droites (AC) et (BV) sont parallèles ( hypothèse ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : RC RA CA = = RV RB VB RC RA 3 Soit = = 10 RB 2 Calcul de RC : Nous avons : RC 3 = 10 2 / 10 × 3 2× 5×3 Soit RC = = = 15 / 2 2 Calcul dex : CV = RC – RV = 15 – 10 = 5

x=5

Exercice 3 :
RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 8 cm et ST = 6 cm . F est le point de [RS] tel que RF = 5 cm. La droite perpendiculaire à la droite (RS) passant par F coupe [RT] en L. a)Faire un dessin. b)Calculer LF.

Correction :
a)Dessin :

5

b)Calcul de LF :
(ST) est perpendiculaire à (SR) ( le triangle SRT est rectangle en S )(FL) est perpendiculaire à (SR) ( hypothèse ) Propriété : donc (ST) et (LF) sont parallèles Si deux droites sont perpendiculaires à une même Dans les triangles RST et RFL troisième, alors ces deux droites sont parallèles. • F ∈ [RS] • L ∈ [RT] • Les droites (ST) et (LF) sont parallèles ( démonstration précédente ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : RF RL FL = = RS RT ST 5 RL FL Soit= = 8 RT 6

Calcul de FL :
5 FL = 8 6 5×6 = FL 8 / 5 ×2×3 5 ×3 15 FL = = = = 3,75 / 2× 4 4 4

FL =

15 = 3,75 4

Exercice 4 :
Un arbre poussant verticalement sur le flanc d'une colline a été cassé en R par la foudre. Sa pointe touche le sol à 12 m du pied. Un bâton ST est placé verticalement. Quelle était la hauteur totale ( AR + RE ) de l'arbre sachant que : ST = 2m , ES = 4 m et ET = 5m

Correction :

Dans les triangles ERA et ETS • S ∈ [EA] • T ∈ [ER] • Les droites (ST) et (RA) sont parallèles ( droites verticales ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : EA ER AR = = ST ES ET 12 ER AR = = 4 5 2 Calcul de ER : 12 ER = 4 5 12 × 5 3× 4×5 = 15 = ER et donc ER = = 4 4 Calcul de AR : 12 AR = 4 2 12 × 2 3× 4×2 = AR et donc AR = = 6 4 4 Hauteur de l’arbre : AR + RE =6 + 15 = 21

La hauteur de l’arbre était de 21 m

Exercice 5 : Brevet des Collèges – Poitiers – 1997
Sur la figure ci-contre : AB = 7 cm ; AC = 4,9 cm ; IB = 3 cm Les droites (JC) et (IB) sont parallèles. Démontrer que le triangle JCB est isocèle.

Correction :
Calcul de CB : CB = AB – AC = 7 – 4,9 = 2,1 (cm ) Dans les triangles ABI et ACJ • C ∈ [AB] • J ∈ [AI] • Les droites (JC) et (IB)sont parallèles ( hypothèse ) Donc, d’après le théorème de Thalès, nous avons : AB AI BI = = AC AJ CJ 7 AI 3 Soit = = 4,9 AJ CJ Calcul de CJ : 7 3 = 4,9 CJ 7 × CJ = 4,9 × 3 ( produit en « croix » ) / 4,9 × 3 7 × 0,7 × 3 CJ = = = 0,7 × 3 = 2,1 7 7 Nature du triangle JCB :

CJ = 2,1 ( cm )

CB = CJ = 2,1 donc

le triangle JCB est isocèle en C

Exercice 6 :
Soit ABC un triangle rectangle enC tel que AC = 7,2 cm et BC = 5,4 cm. a)Calculer AB. b)Soit M un point du segment [AC] tel que CM = 1,2 cm. Par ce point M, on trace la perpendiculaire à la droite (AC). Elle coupe la droite (AB) en N. Calculer MN .

Correction :
Calcul de AB : Dans le triangle ABC rectangle en C, D’après le théorème de Pythagore, nous avons : AB² = BC² + CA² AB² = 5,4² + 7,2² = 29,16 + 51,84 = 81 AB = 81 = 9...
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