Théorie de la décision

Pages: 9 (2215 mots) Publié le: 2 mai 2010
Chapitre 1 : résolution des jeux : solutions et équilibres

Plan du chapitre
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Élimination des stratégies équivalentes Détermination des stratégies prudentes Élimination des stratégies dominées L’équilibre de Nash Les fonctions de meilleure réponse Problème d’existence de l’équilibre de Nash Équilibre de Nash et bien-être social
1

Elimination des stratégieséquivalentes




Déterminer, parmi les résultats possibles du jeu, lesquelles peuvent conduire à une situation d’équilibre Notation :


Le profil de stratégies contenant les stratégies de tous les joueurs SAUF le joueur i est noté :

s"i = ( s1,s2 ,...,si"1,si+1,...,sn ), s"i # X S j
j$i
2

Elimination des stratégies équivalentes


Elimination de stratégies équivalentes


2stratégies si et si’ sont équivalentes si et seulement si, pour tout profil de stratégies donnée des autres joueurs, tous les joueurs obtiennent la même utilité quand si et si’ :

"j # I,"s$i # S$i ,u j ( si ,s$i ) = u j ( s% ,s$i ) i
Toutes les stratégies équivalentes à si forment une classe d’équivalence. ! La forme normale d’un jeu s’obtient à partir de sa forme  normale initiale en remplaçanttoutes les stratégies d’une classe d’équivalence par une seule stratégie


3

Elimination des stratégies équivalentes


Exemple 1 : forme normale du jeu de l’entrée II présenté dans l’exemple 5 de l’introduction
I Augmenter capacité (entrer/E1;produire/E2) (-50;40) (-10;120) (0;100) (0;100) Non (50;60) (-10;100) (0;100) (0;100)
4

Stratégies équivalentes

E

(entrer/E1;non/E2)(non/E1;produire/E2) (non/E1;non/E2)

Elimination des stratégies équivalentes


Jeu en forme normale après l’élimination d’une des stratégies équivalentes :
I Augmenter capacité (entrer/E1;produire/E2) (-50;40) (-10;120) (0;100) Non (50;60) (-10;100) (0;100)

Stratégie finale

E

(entrer/E1;non/E2) (non/E1)

5

Détermination des stratégies prudentes


Stratégie prudente :
Stratégie visant, pour le joueur, à obtenir les gains les plus élevés (ou les pertes les plus faibles) dans la situation la plus défavorable. La stratégie mixte pi* est une stratégie prudente (ou maxmin) du joueur i si et seulement si : ' % ) pi , p$i * , "pi # Pi min u i pi , p$i & min u i ( + p #P p #P
$i $i



Définition :


(

)

$i

$i



=> équilibre en stratégiesprudentes obtenu à partir de la combinaison des stratégies prudentes des joueurs 6

!

Détermination des stratégies prudentes


Exemple 2 : forme normale du jeu de l’entrée II repris de l’exemple 1 de ce chapitre
Stratégie prudente de I

I Augmenter capacité (entrer/E1;produire/E2) E
Stratégie prudente de E

Non (50;60) (-10;100) (0;100)
7

(-50;40) (-10;120) (0;100)(entrer/E1;non/E2) (non/E1)

Équilibre en stratégies prudentes

Élimination des stratégies dominées


Élimination des stratégies dominées


La stratégies pi du joueur i est strictement dominée par la stratégie pi’ si et seulement si, quel que soit le comportement des autres joueurs, le joueur i obtient avec pi une utilité strictement inférieure à celle obtenue avec pi’

"p#i $ P#i , u i ( pi , p#i) < u i ( p% , p#i ) i


La stratégie pi’ est faiblement dominée par la stratégie pi’ si et seulement si, l’inégalité est faible pour toutes les stratégies des autres joueurs et qu’il existe au moins un profil de stratégies des autres joueurs pour ! lequel l’utilité avec pi est strictement inférieure à celle avec pi’

"p#i $ P#i , u i ( pi , p#i ) % u i ( p& , p#i ) i et 'p#i $ P#i u i ( pi, p#i ) < u i ( p& , p#i ) i

8

Élimination des stratégies dominées


Exemple 3 : reprise du jeu sous forme normale réduite de l’exemple 1.
I Augmenter capacité (entrer/E1;produire/E2) E (entrer/E1;non/E2) (non/E1) (-50;40) (-10;120) (0;100) Non (50;60) (-10;100) (0;100)
9

Stratégie strictement dominée par non/E1

Élimination des stratégies dominées


Après élimination...
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