théorie des ensemble

Pages: 6 (1312 mots) Publié le: 10 septembre 2014
Th´orie des ensembles
e

Contents
1 D´termination des ensembles
e
1.1 D´termination par extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
1.2 D´termination par compr´hension . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
e

2
2
2

2 Ensembles particuliers
2.1 L’ ensemble vide . . .
2.2 Singleton . . . . . . .
2.3 Paires . . . . . . . . .
2.4 Ensembles de r´f´rence
ee
2.5 Ensembles´gaux . . .
e

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2
2
2
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2
2

3 Parties d’ un ensemble
3.1 Propri´t´s de l’ inclusion . . . . . . . . . . . . . . .
ee
3.2 Ensemble des parties d’ un ensemble . . . . . . . .
3.3 Exercice corrig´ (Nombre de parties d’ un ensemble) .
e3.4 Exercice corrig´ (Retrouver une fraction) . . . . . .
e

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3
3
3
4
5

4 Construction d’ ensembles
4.1 Compl´mentaire . . . . . . . .
e
4.2 Intersection . . . . . . . . . . .
4.3 R´union . . . . . . . . . . . . .
e
4.4 Propri´t´s communes ` l’ union
ee
a
4.5 Lois deMorgan . . . . . . . . .

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et l’ intersection
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5
5
6
6
6
7

5 Fonctions, applications
5.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 L’ ensemble de d´finition d’ une fonction .
e
5.3 Applications . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
5.4 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . .

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.7
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10

1

1

D´termination des ensembles
e

1.1

D´termination par extension
e

E = {0; 2; 4; 6; 8}
2 est un ´l´ment de E
ee
notation: X ⇐⇒ Y signifie X ´quivaut ` Y
e
a
notation: 2 ∈ E
⇐⇒
2 appartient ` E
a

1.2

D´termination par compr´hension
e
e

E = {x entier
0 x < 10}
notation: x
x < 10
⇐⇒

2

x tel que x < 10

Ensemblesparticuliers

2.1

L’ ensemble vide

{} = ∅

2.2

Singleton

Ensemble ` un seul ´l´ment
a
ee
{2} est un singleton
{∅} est aussi un singleton
{2; 3 − 1} idem

2.3

Paires

{1; 5} est une paire

2.4

Ensembles de r´f´rence
ee

N = { entiers naturels }
Z = { entiers relatifs }
D = { d´cimaux relatifs }
e
Q = { rationnels }
R = { r´els }
e
C = { complexes }

2.5Ensembles ´gaux
e

E et F sont ´gaux si tout ´l´ment de E est un ´l´ment de F et si tout ´l´ment
e
ee
ee
ee
de F est un ´l´ment de E.
ee
notation: E = F
⇐⇒
E est ´gal ` F
e
a

2

3

Parties d’ un ensemble

Un ensemble A est une partie d’ un ensemble E si tout ´l´ment de A est aussi
ee
un ´l´ment de E.
ee

A
E
notation: A ⊂ E
⇐⇒
A est une partie de E
ou A est unsous-ensemble de E
ou A est inclus dans E
A ⊂ E ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ∈ E
notation:
notation:

x... ⇒ y...
⇐⇒
Si x..., Alors y ...
∀x...
⇐⇒
Quel que soit x... ou Pour tout x...
E = F ⇐⇒ E ⊂ F etF ⊂ E

3.1

Propri´t´s de l’ inclusion
e e

Soit un ensemble E, on a toujours
E ⊂ E (E est la partie pleine)
∅ ⊂ E (∅ est la partie vide)
Soit E, F et G, 3 ensembles
(E ⊂ F etF ⊂ G) =⇒ (E ⊂ G)
C’...
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