Mod´lisation GARCH e
Daniel Herlemont

3 mai 2007

Table des mati`res e
1 Introduction 2 Test empiriques sur les indices d’actions 3 Compl´ments - GARCH en temps continu e 4 References 1 5 6 7

1

Introduction

La mod´lisation GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) e est devenu un outil incontournable en finance [2] [3] [4], particuli`rement utile pour analyser e et pr´voir la volatilit´. e e Ces mod`les rendent compte des faits stylis´s connus, tels que la variation de la volatilit´ e e e dans temps ou h´t´rosk´dasticit´ et de clustering de volatilit´, ` savoir que les p´riodes de ee e e e a e forte volatilit´ alternent avec les p´riodes de faible volatilit´. e e e Lorsqu’on estime une volatilit´ historique par moyenne mobile ou moyenne exponentielle, e on pourra constater que la variable rt /σt est plus proche d’une gaussienne que le rendement rt seul. L’estimation GARCH formalise cette id´e. Prenons par exemple le CAC40 et utilisons e une estimation par moyenne mobile exponentielle, utilis´e dans RiskMetrics (JP Morgan) : e closes=rev(read.csv("^FCHI.csv")[,"Close"]) r=diff(log(closes)) s=sqrt(ema(r^2,0.94)) kurtosis(r) 1

1 INTRODUCTION [1] 2.50 kurtosis(r/s) [1] -0.0997 # r/s a une queue moins ´paisse que r seul. e Soient rt les rendements, On supposera rt de moyenne nulle ou sinon. En 1982, Engle propose le mod`le ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastie city) : q 2 E(rt |rt−1 )

= ht = c + j=1 2 aj rt−j

avec E(rt /rt−1 ) = 0 Ce mod`le rend compte d’une d´pendance de la variance en fonction des rendements pr´c´e e e e dents. Nous avons d´j` rencontr´ une forme analogue, lorsque nous avons utilis´ l’estimateur ea e e la volatilit´ historique par une moyenne mobile arithm´tique ´qui-pond´r´e : e e e ee 1 vt = N
N 2 rt−j j=1

, avec ri le rendement ` la date i. Dans cette estimation naive, rien ne garanti que vt est bien a 2 la variance conditionnelle E(rt |rt−1 ). Le mod`le ARCH est meilleur. e En