Université Louis Pasteur Licence Mathématiques-Economie Année universitaire 2007-2008 Enseignante : Isabelle MARET Durée : 2h Documents autorisés : Néant Calculatrices non autorisées Session de janvier 2008

Correction de l’examen de Micro-économie Approfondie: Introduction à la Théorie des Jeux et Applications à l’Organisation Industrielle
Exercice 1 : 1. (7 points) Pour un niveau donné q0 de la production initiale de la firme installée, déterminons l’équilibre de Cournot-Nash du jeu de seconde période. Déterminons les fonctions de réaction des deux joueurs. Face à la stratégie q2 de sa concurrente, l’entreprise 1 résout le problème suivant max (1 − q1 − q2 − c) q1
0≤q1

Ce problème d’optimisation sous contrainte d’inégalité se résout à l’aide de la méthode de Kuhn-Tucker. Le lagrangien de ce problème de décision s’écrit : L (q1 , µ1 , µ2 ) = (1 − (q1 + q2 ) − c) q1 + µq1 , où µ est le paramètre de Kuhn-Tucker associé à la contrainte de positivité.
∗ La méthode de Kuhn-Tucker établit que pour toute solution q1 il existe ∗ un paramètres µ ≥ 0 tel que les conditions d’optimisation de premier ordre suivantes soient remplies : ∂L ∂q1 ∗ ∗ (q1 , µ∗ ) = 1 − 2q1 − q2 − c = −µ∗ ∗ ∗ µ q1 = 0

∗ Pour une solution telle que q1 = 0, on aura donc nécessairement

1 − q2 − c = −µ∗ ≤ 0 ⇔ 1

∂π1 ∗ (0, q2 ) ≤ 0. q1

Ceci signifie que si l’entreprise 1 ne produit c’est que le profit marginal d’un accroissement de sa production est nul (lorsque qu’elle ne produit pas). Ce cas de figure se présente lorsque q2 ≥ 1 − c.
∗ Pour une solution telle que 0 < q1 , on aura donc nécessairement

1− D’où

∗ 2q1

µ∗ = 0 . − q2 − c = 0

1 − c − q2 . 2 Or, la fonction objectif est concave par rapport à la variable de décision et les fonctions qui définissent les contraintes sont convexes en q1 , par conséquent, les conditions nécessaires d’optimisation de premier ordre de Kuhn-Tucker sont suffisantes pour caractériser une solution. Nous pouvons en déduire que la fonction de