Topologie pour la Licence
Cours et exercices

Clemens Berger1
24 Janvier 2004

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Universit´e de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex

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Table des mati` eres Pr´ eface 5

1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Espaces topologiques
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Densit´e, hom´eomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Topologie-produit, topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Espaces complets et espaces compacts
3.1 Compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Parties compactes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Espaces connexes
4.1 Connexit´e et connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Espaces fonctionnels
5.1 Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . .
5.2 Projection orthogonale et orthogonalit´e . . . . . .
5.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass et s´eries de Fourier

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6 Exercices
6.1 Ouverts, ferm´es et adh´erence dans un espace m´etrique.
6.2 Continuit´e, densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Espaces complets, espaces compacts. . . . . . . . . . .
6.4 Espaces connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5