Tpe notion de fractale

Pages: 6 (1408 mots) Publié le: 6 octobre 2013
La notion de fractale

Plan de l'exposé

. Introduction

Problématique :
Dans quelle mesure la notion de fractale a-t-elle une implication réelle dans le monde qui nous entoure ?

I/ Les propriétés des fractales

II/ Les fractales dans la nature, un exemple : le flocon de neige

III/ Les fractales dans le corps humain

. Conclusion


Introduction

. Définition defractale : (latin fractus , brisé )
Les objets fractals se différencient des figures simples par le fait que leur courbe et/ou leur surface sont de formes irrégulières ou fragmentées . De plus , leur structure se répète jusqu'à l'infini .

. Explication :
Chaque point du plan est associé à une fonction (le carré du nombre par exemple ) .
La représentation graphique montre des formesesthétiques qui se reproduisent jusqu'à l'infini..
En "zoomant", apparaît un morceau particulier de la figure. Ce seul morceau ne caractérise plus l'objet d'origine. Avec ce segment, il est impossible de reconstituer le triangle et même d'annoncer qu'il provient d'un triangle.



Cette seule zone agrandie ne permet pas de dire qu'elle provient d'un triangle


Les objets fractals ont toujoursexister mais le concept de fractal a été introduit par Benoît Mandelbrot en 1975 . Il inventa ce terme pour pouvoir différencier ce type d'objet différent à des figures géométriques de base tels que les rectangles , les triangles …

Une fractale se construira suivant un générateur ; c'est-à-dire un mouvement que va suivre une figure de base jusqu'à l'infini faisant apparaître après plusieursapplication du générateur une fractale .

.exemple : si on applique à un segment ce générateur




Alors après répétition de ce générateur sur chaque segment la figure deviendra comme ceci :









Dans le monde qui nous entoure , nous sommes entourés d'objets faisant intervenir la notion de fractale , aussi bien dans la nature que dans notre propre corps .
Il s'agira doncd'explorer les propriétés et caractéristiques d'une fractale avant de les appliquées sur des exemples de fractales dans la nature et dans le corps humain .





















I/ Les propriétés des fractales

Un objet fractal :
- a une dimension strictement supérieure à sa dimension topologique (de base)
- a une dimension non entière
- fait apparaître la notion del'infini (ex: longueur se répète à l’infini)
- possède une autosimilarité ; c'est-à-dire qu'il est possible de retrouver des motifs de la fractale dans son ensemble à l'intérieur de cette fractale.

. Explications :
Démonstration d'autosimilarité :Il s'agira donc retrouver cette forme originale


En "zoomant" sur la partie indiquée, on reconnaît bien la forme de la fractale dans son ensemble.. Dimension d'une fractale
En effet , les fractales ont pour particularité une dimension non entière contrairement aux figures de base dont leurs points , leurs droites , leurs surfaces ou leurs volumes ont respectivement une dimension de 0,1,2,3
Mais les fractales peuvent avoir une dimension fractionnaire .
Pour calculer la dimension d'une fractale , on fait : (log⁡(p))/(log⁡(q))où p est le facteur d'agrandissement et q le nombre de fractales obtenues .
Approche des logarithmes : Le logarithme de base b d'un nombre réel positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre .



















II/ Les fractales dans la nature , un exemple : le flocon de neige

Dans la nature il existe de nombreuses choses qui fontintervenir la notion de fractale telles que les nuages , les éponges , les choux ou même les côtes de la Grande-Bretagne .
Il s'agira ici d'étudier le flocon de neige et d'analyser ses caractéristiques d'objet fractal .

LE FLOCON DE NEIGE OU COURBE DE KOCH

. Comment construit-on une courbe de Koch ?
Building Steps :
- First , the base of a snowflake is an equilateral triangle.
- On each...
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