Transformation de l'espace
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Transformation de l'EspaceI translation (rappel)
soit un vecteur de l'espace et M un point de l'espace. La translation de vecteur est la translation qui a tout point de l'espace M associe le point M' tel que =
II homothésie 1/definition soit O un point de l'espace et k un réel non nul. On appelle homothesie de centre O et de rapport k la transformation qui a tout point M de l'espace associe le point M' tel que =k
on note hok ou egalement k(M)=M'
exemple transformé de M par ho,2 puis par h'o,- soit M'=ho,2(M) =2 et M''=h'o,1/2(M) OM''=-1/2OM
2/ proprietes si M' est l'image de M par ho,k alors O,Met M' sont alignées si Met N sont deux points de l'espace et si Met N' sont leur s images respectives par ho;k alors = k
demonstration
M'=ho;k(M) donc OM=k OM et M'O=k MO ON'=kON
N'=ho;k(N) somme M'O+ON'=k MO+kON M'N' =k ( MO+ON) M'N'=KMN
si Met N ne sont pas aligner avec O et si M'=ho;k(M) et N'=ho.k(N)forment une configuration de thales
exercice soit ABC un triangle quelconque de centre de graviter G soit A'B'et C' les milieux respectif de BC AC et AB determiner les points I J k et L defini par
I=ha,2(C') J=hB',-1(c)
3/conservation
Une homothetie conserve le bary exemple: soit A, B et Ctrois points de l'espace affectés des coefficient , et ( avec + + =0) soit h , l'omotétie de centre k de rapport k (k≠0) soit A',B' et C les images respectives de A, B et C par h.
G bary de (A ), (B ), et (C ) a pour image par h , G' bary de (A' ) ( B ) et (C )
demonstration soit A B et C trois point réel de l'espace et , et tel que ++≠0 soit G bary (A ), (B ), et (C ) on considere
H k k≠0 soit A'=h(a') 0 … pour demonter que G' est bary de (A' ), (B' ), et (C' ) on veut arriver a G'A'+ G'B'+ G'C'= on sait que Gest le bary (A ), (B ), et (C ) donc
*k( GA+ GB+ GC)= *k kGA+ kGB+ kGC= G'A'+ G'B'+ G'C'=
conclusion
G' est bien le