Théorie des Noeuds
P. Turner

Biblio: - Knot Knotes - Justin Roberts - Noeuds et Tresses - J.Y. Le Dimet

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Introduction
R3 est un sous-ensemble homéomorphe (x, y, 0) ∈ R | x2 + y 2 = 1 un cercle de rayon 1 dans
3
au cercle. le plan

1.1 Notions de base
Déf: Un noeud dans Ex:

z = 0.

Figure 1: Exemple de noeuds

Déf: Un entrelacs à cercles. Ex:

n

composantes dans

R3

est un sous-ensemble homéomorphe à la réunion disjointe de

n

Figure 2: Exemples d'entrelacs

1

Déf: Une isotopie entre deux noeuds

K

et

K

est une application continue

h : [0, 1] × R3 −→ R3 (t, x) −→ ht (x) telle que

h0 = IdR3 , pour tout

h1 (K) = K ht

et

t ∈ [0, 1] ,

est un homéomorphisme

K

et

K

sont équivalent

⇔ ∃h

une isotopie entre eux. On écrira alors

K∼K
Remarques: 1)

∼

est une relation d'équivalence.

2) La même dénition est valable pour les entrelacs.

Problèmes
• • •
Classier les noeuds à isotopie près. C'est un problème très compliqué, pas encore résolu. Décrire un algorithme pour dire si deux noeuds donnés sont équivalents. totalement inutilisable en pratique. Montrer que deux noeuds ne sont pas isotopes. Cet algorithme existe, mais est

Diculté

La diculté principale est qu'il existe des noeuds trop compliqués:

Figure 3: Exemple de noeud sauvage (Wild Knot)

Déf: Un noeud est polygonal s'il existe un nombre ni de points

p1 , ..., pn ∈ R3

tels que

n

K= i=1 où li est la droite allant de

li

pi

à

pi+1 .

2

Figure 4: Exemple de noeud polygonal

Déf: Un noeud est dit modéré (tame) s'il est isotope à un noeud polygonal. Ex: Le trèe, isotope au noeud polygonal ci-dessus. Déf: Un

∆-mouvement

est un mouvement de ce type:

Figure 5:

∆-mouvement

Deux noeuds polgonaux

K

et

K

sont dits

∆-équivalents si et seulement s'il existe une suite de noeuds polygonaux

K0 , ..., Kn
1.

telle que

K0 = K , Kn = K Ki ,