RACINES CARREES
Emilien Suquet, suquet@automaths.com

I Définitions, calcul avec les radicaux
La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b.
On a donc d2 = b et on note d = b
2

Par définition, on a donc avec b ≥ 0, b ≥ 0 et ( b) = b
4 2
=
9 3

Ex : 9 = 3 (car 32 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ;
Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée

A partir de la définition, nous allons obtenir les trois règles suivantes :
Si b est un nombre positif, alors b2 = b
Si b est un nombre négatif, alors b2 = -b

-b n’est pas forcement un nombre négatif.
-b désigne l’opposé de b.

Démonstration :
Par définition on a : b2 = d avec d ≥ 0 et d2 = b2
Comme d2 = b2, on a alors d = b ou d = -b (voir cours sur les équations)
1er cas : si b est positif, alors on prend d = b car d doit être positif. On a donc b2 = b
2ème cas : si b est négatif, alors on prend d = -b car d doit être positif. On a donc b2 = -b

Exemples : 32 = 3 ; (-5)2 = 5 = -(-5) ; 106 =

(103)2 = 103

Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : a × b = a × b
Démonstration :

(
(

a

2

b) =

a×

b×

2

Evolution du symbole racine

2

a × b = ( a) × ( b) = ab

1220 : R

2

ab) = ab puisque ab>0

On a donc ( a

2

2

b ) = ( ab) et on peut conclure car

a b > 0 et

ab > 0

Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient. a a
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :
=
b b Démonstration :
2

 a = a×
 b b  

2

a ( a) a
=
= b ( b)2 b

a

et comme > 0, on a aussi : b 

a b 2

1450 : R2
1525 : /
1572 : R.q.
1637 :

a

=b

On peut donc conclure de la même façon qu’à la question précédente

Il faut parfaitement connaître son cours pour ne pas risquer d’inventer de nouvelles règles qui très souvent seront fausses. Par exemple a + b n’est pas du tout égale à a + b
Les