Schweizer Mathematik-Olympiade

S´lection d’exercices OSM avec solutions e
Important: La th´orie n´cessaire pour r´soudre les exercices suivants fait partie de la e e e mati`re enseign´e lors de nos rencontres. Il n’est donc pas n´cessaire que tu sois capable de e e e les r´soudre pour pouvoir t’inscrire a l’OSM. e ` 1. Dans une pi`ce il y a six personnes. Deux personnes sont toujours amis ou ennemis. e Montrer que l’on peut toujours en choisir trois parmi ces personnes tels qu’ils sont tous amis ou tous ennemis entre eux. Exemple de solution. Nous cherchons tout d’abord une forme plus graphique pour consid´rer le probl`me. e e Une telle visualisation peut souvent ˆtre le premier pas d’une solution. e Nous repr´sentons les six personnes par six points. Si deux personnes sont amis nous e relions les deux points correspondants par une arˆte verte, sinon par une arˆte rouge. e e De cette mani`re on obtient un hexagone dans lequel chaque cˆt´ et chaque diagonale e oe est vert ou rouge. Le but de l’exercice est de montrer que nous pouvons toujours choisir trois points tels que les arˆtes qui les relient soient toutes vertes ou toutes rouges. e Autrement dit, il faut montrer qu’il y a toujours un triangle vert ou un triangle rouge. Pour montrer ceci nous choisissons un point arbitraire que nous appelerons P . Chaque arˆte partant de P est color´e en une de deux couleurs. Donc d’apr`s le principe des e e e tiroirs au moins trois de ces arˆtes doivent avoir la mˆme couleur. Nous appelons leurs e e autres extr´mit´s A, B et C. Quitte ` ´changer les couleurs nous pouvons supposer e e ae que ces arˆtes sont vertes. e Il y a maintenant deux cas possibles: Si une des arˆtes AB, BC ou CA est verte alors e ses deux extr´mit´s et P forment un triangle vert et nous avons fini. Mais si les arˆtes e e e AB, BC et CA sont toutes rouges alors ABC est un triangle rouge et nous avons ´galement fini. e Remarques. Le principe des tiroirs dit ceci: Si l’on met k · n + 1 chaussettes dans n