Les graphes d’intervalles
Complément au chapitre 3 « Vol aux archives cantonales » Considérons un ensemble de tâches ayant chacune une heure de début et une heure de fin bien précises. Supposons qu’on demande à des employés d’effectuer ces tâches, mais qu’aucun employé ne puisse effectuer deux tâches à la fois. Pour modéliser cette situation il suffit de considérer le graphe dans lequel chaque tâche est représentée par un sommet et une arête relie deux sommets lorsque les tâches correspondantes se chevauchent dans le temps. Le graphe ainsi construit est dit d’intervalles. Définition Un « graphe d’intervalles » est le graphe d’intersection d’intervalles sur une droite. Donc, étant donné un ensemble E={E1,…,En} d’intervalles sur une droite, on lui associe le graphe d’intervalles G=(V,E) où V={1,…,n} et deux sommets x et y sont reliés par une arête si et seulement si Ex∩Ey≠∅. Exemple

Dans l’affaire du vol aux archives cantonales, Costello résume les témoignages des suspects à l’aide du tableau suivant dans lequel une croix dans une case signifie que la personne de la ligne concernée dit avoir rencontré la personne de la colonne concernée. jeudi 9 avril 2009 B E S L G x x x x x x x x x x x x x vendredi 10 avril 2009 B E S L G M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

T T B E S L G M

M T B E S L G M

T

x x x

x

x

Si chaque suspect n’est venu qu’une fois par jour au maximum aux archives cantonales, chacun a passé un intervalle de temps sur les lieux. On peut donc associer un graphe d’intervalles à ces témoignages en créant un sommet par suspect et en reliant deux sommets lorsque les intervalles qui leur sont associés se chevauchent dans le temps, autrement dit lorsque ces deux suspects se sont rencontrés (ce qui veut dire qu’on a une

croix dans les tableaux de Costello). Sur cette base, Manori construit les graphes suivants qui correspondent en principe à deux graphes d’intervalles, l’un pour les intervalles du jeudi et l’autre pour ceux du