Yaya
6569 mots
27 pages
Contents1 Devoir libre 1 2 Devoir libre 2 3 Devoir libre 3 4 Devoir libre 4 5 Devoir libre 5 6 Devoir libre 6 7 Devoir libre 7 8 Devoir libre 8 9 Devoir libre 9 10 Devoir libre 9 Bis 11 Devoir libre 10 12 Devoir libre 10 Bis 13 Devoir libre 11 14 Devoir libre 15 15 Devoir libre 16 16 Devoir libre 20 17 Devoir libre 21-22 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 39
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1 Devoir libre 1
Exercice 1: Soit (un ) une suite de nombres re´ ls telle que e u n +1 = 1 u n + 2 3 u0 ∈ R 1. On suppose que u0 = 3. Calculer u1 , u2 puis un pour tout n. 2. On suppose maintenant que u0 = 3 et pour α ∈ R on d´ finit la suite (vn ) par e vn = un + α,
( n ∈ N)
a) Montrer qu’il existe une valeur de α pour laquelle (vn ) est g´ om´ trique de e e raison 1/3. b) Exprimer alors vn en fonction de un et n. c) En d´ duire que (un ) est convergente et calculer sa limite. e Exercice 2: 1. Pour x ∈ R, calculer
e x + e− x 2
2
−
e x − e− x 2 e x −e− x . 2
2
2. Soit f l’application de R dans R telle f ( x ) =
a) Etudier les variations de f et tracer sa courbe representative (C f ) dans un rep` re orthonorm´ (O, i, j ). O se contentera de d´ terminer les points d’abscisses e e e ` −1, 0, 1 ainsi que les tangentes a (C) en ces points. b) Dire pourquoi f admet une application r´ ciproque g = f −1 et d´ terminer le e e nombre d´ riv´ de g pour y0 = f ( x0 ). e e ´ c) y ∈ R etant fix´ , r´ soudre l’´ quation e2x − 2ye x − 1 = 0. e e e
3
1 Devoir libre 1 d) En d´ duire l’´ xpression de g puis retrouver g (y0 ). e e
4
2 Devoir libre 2
Exercice 1: 1. Soit (un ) la suite de nombres re´ ls telle que e u n +2 = 3 u n +1 − 1 u n 2 2 u0 = 1, u1 = 3. On pose de mˆ me vn+1 = un+1 − un e a) Quelle est la nature de la suite (vn ). Calculer vn en fonction de n et d´ terminer e ∞ vn . ∑ n =0 b) En d´ duire l’expression de un en fonction de n puis calculer limn→∞ un . e c) D´ terminer le plus petit entier n0 v´ rifiant e e
|un − 3| < 10−5
2. Pour n ∈ N on pose
n