Corrigé du DS n° 5 – 28 février 2013

Exercice 1 (5 points) Pondichéry 2010
Partie A - Restitution organisée de connaissances :
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b].
On suppose connus les résultats suivants :
Pour tous réels et : .
Si pour tout , alors .
Montrer que : si pour tout , alors . et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur .
Pour tout de donc donc et donc soit .

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur par et on pose . On note Cn la courbe représentative de dans un repère orthonormal .
1. a. Déterminer la limite de en .
Pour tout de .
Soit ; or donc .
b. Étudier les variations de sur . est la composée de deux fonctions : continue et dérivable sur , à valeurs dans et
, continue et dérivable sur , donc est continue et dérivable sur . donc pour tout de donc est strictement croissante sur .
c. Montrer que la fonction F définie sur par est une primitive de la fonction .
Pour tout x de , donc F est bien une primitive de .
d. En déduire la valeur exacte de .

2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a .
Pour tout entier naturel non nul est la composée de deux fonctions continues sur : et donc est continue sur .
Pour tout de donc .
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc .
La fonction est continue sur et pour tout de .
Donc pour tout entier naturel non nul , soit .

b. Étudier les variations de la suite (In).
Pour tout de donc par produit par puis .
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc , soit .
Les fonctions et sont continues sur et pour tout de donc .
La suite est décroissante et minorée par .

c. En déduire que la suite (In) est convergente.
La suite décroissante et minorée par est donc convergente vers un nombre positif.

3. Soit g la