MPSI2

Devoir 1

R. Mansuy

Exercice – Quantificateurs
D´terminer, parmi les phrases quantifi´es suivantes, celles qui sont correctes e e 1. ∃f ∈ RR , ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, f (x) = y. 2. ∃f ∈ RR , ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = y. 3. ∃f ∈ RR , ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = y. 4. ∃f ∈ RR , ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, f (x) = y. 5. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, ∃f ∈ RR , f (x) = y. 6. ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, ∃f ∈ RR , f (x) = y. 7. ∀y ∈ R, ∀x ∈ R, ∃f ∈ RR , f (x) = y.

3. Soit E un ensemble fini et A une partie de E. Pour tous X, Y ∈ P(E), on note X ∼ Y si X ∪ A = Y ∪ A. (a) Montrer que ∼ est une relation d’´quivalence sur P(E). e (b) D´terminer les classes d’´quivalence ; en pr´ciser le nombre. e e e (c) Montrer que toutes les classes d’´quivalence ont le mˆme cardinal. e e

Partie B – Saturation d’une partie
Soit E un ensemble muni d’une relation d’´quivalence ∼. La saturation d’une e partie A ⊂ E est la partie x. sat(A) = x∈A Probl`me e
D´finitions e
Soit E un ensemble. Une relation ∼ sur E est une relation d’´quivalence si elle e v´rifie les trois propri´t´s suivantes : e ee (R´fl´xivit´) pour tout x ∈ E, x ∼ x ; e e e (Sym´trie) pour tous x, y ∈ E, x ∼ y si et seulement si y ∼ x ; e (Transitivit´) pour tous x, y, z ∈ E, si x ∼ y et y ∼ z, alors x ∼ z. e On v´rifie facilement que l’´galit´ usuelle ou l’´galit´ des entiers modulo p sont des e e e e e relations d’´quivalence sur l’ensemble Z. e ´ Etant donn´s un ensemble E et une relation d’´quivalence ∼ sur E, la classe e e d’´quivalence de x ∈ E est la partie de E, not´e x, constitu´e des ´l´ments en e e e ee relation avec x ; en d’autres termes, pour tout x ∈ E, x = {y ∈ E, x ∼ y}.

1. Montrer que, pour toute partie A ⊂ E, A ⊂ sat(A). 2. Comparer, pour toute partie A ⊂ E, sat(A) et sat(sat(A)). 3. Soit A ⊂ E et x ∈ E. Montrer l’´quivalence entre les propri´t´s e ee x ∈ sat(A) x ∩ sat(A) = ∅ En d´duire sat(sat(A) ). e 4. Montrer que la saturation d’une r´union de parties est la r´union des saturae e tions de ces parties. 5. Comparer la saturation d’une