Équations différentielles

Équations différentielles linéaires du 1er ordre

Definition: C'est une equation de la forme (1)α(x)y'+β(x)y=γ(x)sur un intervalle I où y'=y'(x)=dy/dxet α, β, γ des fonctions continues sur I Résoudre (1) revient à chercher une fonction y dérivable sur I vérifiant: ∀x∈I,α(x)y'(x)+β(x)y(x)=γ(x)
En général l'équation se ramêne à une équation de la formule: (1')y'+a(x)y=b(x)où a et des fonctions continues

Comment résoudre (1')?

1ère étape: on cherche la solution générale de l'équation homogène ou Equation Sans Second Membre (=ESSM)
(2)y'+a(x)y=0⇔y=Aexp(∫a(x)dx)oùA∈R
2ème étape: Recherche d'une solution particulière notée φ

C'est à dire une fonction φ vérifiant ∀x∈I,ϕ'(x)+a(x)ϕ(x)=b(x)
La solution générale de (1') = la solution générale de l'ESSM + la solution particulière φ
C'est à dire y'+a(x)=b(x)⇐y=Aexp(-∫a(x)dx)+ϕoùA∈R
Preuve : 1) Montrons y'+a(x)y=0⇔y=Aexp(-∫a(x)dx)

Équations différentielles du second ordre a coefficients constants.

C'est une équation de la forme ay''+by'+cy=f(x)où a∈R^"*" ,(b,c)∈R, ƒ est une fonction.
1ere étape:
(1)ay''+by'+cy=0(équation homogène)
Soit ar²+br+c=0l'équation caractéristique liée à 1.
Δ=b²-4ac
Δ>0: deux solutions réelles r1 et r2 ay''+by'+cy+0⇔y=λexp(r_1 x)+μexp(r_2 x) Δ=0: une solution réelle notée r ay''+by'+cy+0⇔y=exp(rx)(λx+μ)