Algorithme du simplexe

 méthode  de  Pert,   et  flots  dans  les  réseaux  et  algorithme  de  Ford   Fulkerson,  problème  du  plus  courts  chemins.     •  Programma0on  linéaire  :  modélisa0on  des   problèmes,  de  la  resolu0on  graphique  au   algorithme  du  simplexe.  Problème  de  la  dualité  et   méthode  dual-­‐simplexe.     •  Modèle  de  Markov  :  Simula0on,  illustra0ons

Introduction 5 I 9 Th´ eorie, formulation et algorithmes de r´ esolution 1 Mod´ elisation pour la programmation math´ ematique 11 2 Programmation lin´ eaire 2.1 Un exemple : formulation, repr´esentation et r´esolution . . 2.1.1 Le probl`eme de la nourriture pour chiens . . . . . 2.1.2 Cas de figure des solutions possibles . . . . . . . . 2.1.3 Recherche d’optimum . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Un algorithme ´el´ementaire du simplexe . . . . . . 2.1.5 R´esum´e . . . . . . . . . . .

Exemple 5 Caractérisation d’une base réalisable 5 Théorème 5 Solutions optimales 5 Caractérisation des bases optimales 5 Théorème 5 Exemple classique 6 Algorithme du simplexe – Méthode des tableaux 6 Méthode 6 Exemple classique 7 Analyse du tableau final du simplexe 8 Méthode révisée du simplexe 9 Convergence & Initialisation du simplexe 10 Théorème : Convergence de l’algorithme 10 Initialisation 10 Initialisation : Méthode du gros M 10 Initialisation : Méthode des deux phases 10 Perturbation

. . . I.1.4 Exemple de probl`eme `a deux variables - R´esolution graphique I.1.5 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 M´ethode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1 Probl`eme de programmation lin´eaire sous forme normale . . . I.2.2 Algorithme du simplexe I : pr´eparation . . . . . . . . . . . . I.3 R´esolution dans le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1 Ecrire un probl`eme de maximisation sous

Introduction M´thode graphique e Simplexe Dualit´ e Introduction M´thode graphique e Simplexe Dualit´ e Recherche op´rationnelle e Tentative de d´finition e Programmation lin´aire et recherche e op´rationnelle e Ensemble de m´thodes (algorithmiques, math´matiques, e e mod´lisation) afin de prendre des d´cisions optimales ou proches e e de l’optimum dans des probl`mes complexes, qui traitent de la e maximisation d’un profit ou la minimisation d’un coˆt

9 Introduction à l’ algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Utilisation de l’ écriture matricielle dans la PL . . . . 4.9.2 Passage d’ sommet à un autre . . . . . . . . . . . un 4.10 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1 Exemple d’ introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2 Description de l’ algorithme du simplexe . . . . . . . 4.10.3 Les dictionnaires du simplexe . . . . . . . . . . . . . 4.10.4 Les tableaux du simplexe . . . . . . . . . .

Cours 9 : programmation linéaire (recherche opérationnelle) • • • • 1. Exemple introductif 2. La méthode du simplexe 3. Dictionnaires 4. Algorithme C. JARD Cours ALGO1 MMI+MIT 2007-2008 1 1. Introduction : la raffinerie • Production optimale d’une raffinerie produisant 4 produits finis (essence, kérosène, mazout et résidu) à partir de deux types de pétrole brut (brut1 et brut2), avec les paramètres suivants : Produit $/baril Essence Kérosène Mazout Résidu Rendement(%) Brut1, Brut2 80

ALGORITHME DU SIMPLEXE Considérons le problème de programmation linéaire suivant : Max Z = 2x1 + x2 x1 + x2 6 3x1 + 4x2 9 x1 0 , x2 0 La mise sous forme standard (introduction des variables d'inactivité x3 et x4) donne : Max Z = 2x1 + x2 x1 + x2 + x3 = 6 3x1 + 4x2 + x4 = 9 x1 0 , x2 0, x3 0, x4 0 On passe de cette forme standard au tableau suivant : |x1 |x2 |x3 |x4 |R |

mais les e e techniques utilis´es s’appliquent ´galement ` la mod´lisation en ing´ni´rie et en e e a e e e sciences. Certaines m´thodes de la Recherche Op´rationnelle se d´montrent - au niveau e e e math´matique - assez facilement. L’algorithme du simplexe, par exemple, repose e ee e e sur des arguments ´l´mentaires de l’alg`bre lin´aire. D’autres m´thodes pr´sent´es dans ce cours, par exemple celles de la programmation e e e dynamique, sont des cas particuliers de d´veloppements analytiques et stochastiques

l’aide d’un solveur mathématique. Dans notre cas, nous utiliserons le solveur mathématique du logiciel EXCEL. Cette étape, réalisée par le logiciel, consiste à rechercher la meilleure solution parmi un polygone de solutions réalisables (cf. Algorithme du simplexe introduit par Dantzig à partir de 1947). Page 3 sur 16 2. Activation du solveur Excel Le solveur d’Excel est modèle complémentaire, il n’est pas disponible dès l’ouverture d’Excel. Voici les instructions pour l’ouvrir :     Cliquer