Approximation de Gauss

matrice X) on obtient le mod`le de r´gression multiple. a e e P On note l’importance de l’hypoth`se H5 : si xt = α pour tout t, e (xt − x)2 = 0, ¯ 0 det X X = 0 et les ´quations normales n’ont pas de solution unique. e 1.7 Th´or`me de Gauss-Markov e e Nous ne verrons ici qu’un cas particulier de ce th´or`me (une version plus g´n´rale sera e e e e vue en r´gression multiple). e Nous avons vu que les estimateurs de moindres carr´s sont sans biais et convergents. e Sont-ils de

fa¸con plus approfondie dans deux autres cours : “La Th´eorie des Extrˆemes et la Gestion des Risques de March´e” et ”La Gestion des Risques Multiples”. C’est dans ces deux cours que nous verrons la mise en œuvre pratique des m´ethodes avec le logiciel GAUSS. A titre indicatif, le premier cours portera sur la VaR et le stress-testing. Et nous aborderons les copulas, le risque de cr´edit et le risque op´erationnel dans le second cours. Les propositions de Bˆ ale pour le nouvel Accord ´ evoluent rapidement

donne a priori une loi d’évolution dont la formulation la plus générale est la suivante : {1.2} y = f (x1,x2,x3,…,xn) Cette fonction est trop générale et il est d’usage d’en prendre un développement limité de Taylor-Mac Laurin, c’est-à-dire une approximation. Si les dérivées peuvent être considérées comme des constantes, le développement précédent prend la forme d’un polynôme de degré plus ou moins élevé : y = a 0 + ∑ a i x i + ∑ a ij x i x j + ∑ a ii x 2 + … i 12 {1.3} 1 • Découvrir la méthode

X2 sur X1 . e e Ajoutons un dernier th´or`me, dont on trouvera la d´monstration dans Cr´pon (2005) e e e e ainsi qu’un peu plus d’explicitations : le th´or`me de Gauss-Markov. Il s’agit simplement e e d’un th´or`me d’optimalit´ des estimateurs MCO (optimalit´ du point de vue de la e e e e variance des estimateurs). Th´or`me 2.1.4 (Gauss Markov). Sous les hypoth`ses du mod`le lin´aire, l’estimae e e e e teur des moindres carr´s ordinaire d’un mod`le lin´aire est optimal dans la classe des e e e estimateurs

ou présentant une discontinuité « simple » comme dans l’exemple 2 ; nous n’approfondirons donc pas l’étude des fonctions discontinues, qui peuvent être bien plus difficiles à appréhender que celle de cet exemple. On peut retenir en première approximation qu’une fonction est continue si elle n’effectue pas de « sauts », i.e si l’on peut tracer son graphe « sans lever le stylo ». exemple : la fonction affine f (x) = ax + b est dérivable sur R, et f (x) = a pour tout x. 2.2 différentielles

aléatoire qui suit la loi de distribution la plus connue et la plus facile à manipuler, la loi « normale ». A/- La distribution normale Au XIXe siècle, deux mathématiciens qui travaillaient sans se connaître, le Français LAPLACE et l’Allemand GAUSS ont démontré que n’importe quel phénomène entraîné par des causes multiples et indépendantes entre elles suit la loi de distribution qui porte désormais leurs noms. Cette loi est tellement « générale », s’applique à des phénomènes si variés et si différents

fondamentale de pˆle x0 de l’´quation de Laplace. Grˆce a (2.5) on a o e a ` u(x0 ) = Ω G(x, x0 )∆u(x) dx − G(x, x0 ) ∂Ω dG du (x) − (x) u(x) dn dn dSx , (2.6) et on en d´duit le e Th´or`me 2.2.1 (Loi de la moyenne arithm´tique de Gauss) e e e Soit u harmonique dans Bd (x0 , r) et continue sur Bd (x0 , r), alors u(x0 ) = 1 ωd r d−1 u(x) dS = S d−1 (x0 ,r) 1 ω d rd u(x) dx . Bd (x0 ,r) Remarques : 1) On peut montrer r´ciproquement qu’une fonction u ∈ C2 (Ω) qui v´rifie la

facilement qu’on a bien d´efini une loi de probabilit´e car +∞ +∞ P(X = k) = e k=0 −λ k=0 λk = e−λ eλ = e−λ+λ = 1. k! Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson En liaison avec les lois binomiales, on dispose du r´esultat suivant justifiant que la loi de Poisson approxime la loi binomiale B(n, p) quand n est « grand » et np est « petit ». Th´ eor` eme 4.2.1 (Approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale) Si (pn )n∈N∗ est une suite de r´eels de [0, 1] telle que npn → λ ∈]0, +∞[

Variables aléatoires infinies discrètes 3. Couple de variables aléatoires discrètes 4. Variables infinies discrètes usuelles 197 197 200 206 208 9 Variables aléatoires à densité Convergences, approximations estimation 1. Généralités 2. Variables aléatoires à densité usuelles 3. Convergences et approximations 4. Estimation 217 217 221 227 230 Informatique 235 10 Éléments d’algorithmique 1. Le langage PASCAL 2. Exemples d’algorithmes 237 237 245 Index IV 253 Mode d’emploi Ce livre contient

de Raymond Boudon, Traité de sociologie, chapitre 10, pp. 389-422. Paris: Les Presses universitaires de France, 1992, 1re édition, 575 pp. Maurice Cusson, “Déviance” (1992) Table des matières I. La nature de la déviance Première approximation Définition Relativité et universalité de la déviance La déviance comme construction sociale Sens ou non-sens de la réaction sociale L'unité et la diversité du phénomène II. La théorie du contrôle social « Le suicide » de Durkheim La