Brian Greene

I. Généralités sur les suites Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels. 1. Suites croissantes, suites décroissantes Définitions Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un infegal un+1. Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1. Méthode : Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un. Si tous les un sont strictement positifs, on compare Un+1/Un

Congress was meeting, fighting continued in several parts of the colonies. The British at first treated these encounters as local rebellions. The colonial forces expanded the war. On May 10, 1775, as the Continental Congress was just beginning, the Green Mountain Boys captured the British fort at Ticonderoga in New York. Other members of this militia captured the fort at Crown Point a few days later. Both forts were on the strategic Lake Champlain-Lake George route to Canada. • The siege of Boston

1 LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n =

Les suites numériques I/Définition générale Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u. (Un)n >/= 0 Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u. On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie

Exercices Exercices 1 Sujet A 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1.

LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 | |De manière plus mathématique : | |Si «  u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit que |

un autre Brown, le running back Jim Brown, qui est, comme Graham entré au “Hall of Fame” quelques années plus tard. Les Green Bay Packers de Vince Lombardi Les Packers avaient déjà dominé la NFL dans les années 30 avec quatre titres de champions. Ceci dit, c'est avec le mythique coach Vince Lombardi (qui a donné son nom au trophée remis au vainqueur du Super Bowl) que Green Bay est entré dans l'histoire en remportant cinq titres (saisons 1961, 1962, 1965 1966 et 1967), dont les deux premiers Super

Nothin' on You de B.o.B, puis Billionaire de Travie McCoy, avant la sortie mondiale de son premier album Doo-Wops & Hooligans en 2010. Il coécrit également de nombreux titres dont Right Round de Flo Rida, Wavin' Flag de K'naan ou Fuck You! de Cee Lo Green. La musique de Bruno Mars est un mélange de différents styles musicaux. Il travaille avec des artistes aux genres musicaux variés ; ces collaborations se retrouvent dans sa propre musique. Enfant, il est très influencé par des artistes comme Elvis

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) 9 . 6−x U0 = −3 . Un+1 = f (Un ) On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) = On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par 1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x. Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer