Les suites numériques

I/Définition générale
Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u.

(Un)n >/= 0
Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u.
On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1.

Exemples : Sois la suite u définie par une formule explicite par Un = n2 + n. Calculer ses 3 premiers termes :

U0 = 02 + 0 = 0
U1 = 12 + 1 = 2
U2 = 22 + 2 = 6
Pour tout entier naturel n, Un = f(n) avec f : x x2 + x

Sois la suite u définie par une formule récurrente par U0 = 1 et pour tout entier naturel n par Un+1 = Un2 -1. Calculer ses 3 premiers termes :
U0 = 1
U1 = U02 -1 = 12 -1 = 0
U2 = U12 -1 = 02 -1 = -1

II/Sens de variation d’une suite
Si pour entier naturel n, Un+1 >/= 1, alors la suite u est croissante/ETC…

Une suite qui est soit croissante, sois décroissante est dite monotone.

Exemple : u est définie sur N par Un = -2n2 +1
Pour tout entier naturel n, Un+1 = -2 (n+1)2 +1
Donc Un+1 –Un = -4n -2

Or, n >/= 0 (entier naturel) donc on a la somme de deux réels négatifs (-4n et -2) d’où Un+1 – Un </= 0  Un+1 </= Un donc u est décroissante.

Propriété : Soit f une fonction définie sur et u la suite définie pour tout entier naturel n par Un = f(n). Si f est croissante, u l’est aussi. Si f est décroissante, u l’est aussi.

III/ Suites arithmétiques
On dit qu’une suite est arithmétique lorsqu’il existe une réel r tel que pour tout entier naturel n, Un+1 = Un+r.

Le réel r est appelé « la raison » de la suite arithmétique u.

Exemple : Calculer les 3 premiers termes de la suite arithmétique u de premier terme 3 et de raison – ¼. uo = 3 u1 = u0 +r = 3 – ¼ = 11/4 u2 = u1 – ¼ = 11/4 – ¼ = 5/2

Propriété : Soit u, une suite arithmétique de raison r : si r>o, alors un