EXERCICE 1 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
9
.
6−x
U0 = −3
.
Un+1 = f (Un )

On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) =
On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x.
Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0).
Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un ) ?
2.
2.a. Démontrer que si x < 3, on a alors naturel n.

9
< 3. En déduire que Un < 3 pour tout entier
6−x

2.b. Etudier le sens de variation de la suite (Un ).
2.c. Que peut-on déduire des questions 2.a. et 2.b. ?

3. On considère la suite (Vn ) définie par Vn =

1 pour tout entier naturel n.
Un − 3

1
3.a. Démontrer que la suite (Vn ) est une suite arithmétique de raison − .
3
3.b. Déterminer Vn puis Un en fonction de n.
3.c. Calculer la limite de la suite (Un ).

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ANNEXE
A rendre avec la copie
EXERCICE 1
7

6

5

4

3

2

1

−3

−2

1

−1

2

−1

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3

4

5

6

BACCALAUREAT GENERAL
Session de Juin 2008
MATHEMATIQUES
- Série S Enseignement Obligatoire
Nouvelle Calédonie
EXERCICE 1

1.
7

6

5

4

3

2

1

−3M0

−2

2 3 M4
M1 1 M2 M

−1

3

4

5

6

−1

Il semblerait que la suite (Un ) soit strictement croissante et converge vers 3.
2. a) Soit x ∈ R. x < 3 ⇒ −x > −3 ⇒ 6 − x > 3

1
1
1
< (car la fonction t → est strictement décroissante sur ]0, +∞[)
6−x
3 t 1
9
9
⇒
< ⇒
< 3.
6−x
3
6−x
⇒

Montrons alors par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un < 3.
• U0 = −3 et donc U0 < 3. L’inégalité est donc vraie quand n = 0.
9
< 3 ou encore Un+1 < 3.
• Soit n ∈ N. Supposons que Un < 3. Alors d’après ce qui précède,
6 − Un
On a montré par récurrence que
Pour tout entier naturel n, Un < 3. http ://www.maths-france.fr

1

c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

b) Soit n ∈ N.
Un+1 − Un =

9 − 6Un +