Cocyclique

cette r´gion n’est pas born´e. e ı e e c a b Figure 4.3: La partie gris´e est dans R(a). e Proposition 4.2. Le diagramme de Vorono¨ Vor(S) d’un ensemble fini S est ı planaire en tant que graphe ; de plus, si S ne contient pas quatre points cocycliques, tout sommet de Vor(S) est de degr´ 3. e Preuve. Puisque Vor(S) est constitu´ des fronti`res des r´gions de Vorono¨ e e e ı l’intersection de deux arˆtes est par d´finition un sommet du graphe. Ceci prouve e e que le graphe est planaire. Soit maintenant

similitude... ). e Exercice 1402 Pour a, b, c trois nombres complexes tels que b = c, on note V (a, b, c) = c−a . c−b Soient z1 , z2 , z3 , z4 quatre nombres complexes distincts. Montrer que les images de ces nombres complexes sont align´es ou cocycliques ssi V (z1 ,z2 ,z3 ) ∈ R. e V (z1 ,z2 ,z4 ) 46 Courbes param´tr´es e e 182 Exercice 1403 Soit ABCD un carr´ direct et M un point de la droite (DC). La perpendiculaire e ` (AM ) passant par A coupe (BC) en N . On note I le milieu

E sont alignés (M est le point de concours de (AB) et (CD), la droite (MC) recoupe ᐀ en un autre point E), la première possibilité est exclue. On c c cc conclut D = E, c'est-à-dire MA . MB = MC . MD si, et seulement si, A, B, C et D sont cocycliques. Chapitre 8 Le produit scalaire 123 CHAPITRE 9 Applications du produit scalaire Le programme L’objectif est de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances

m 41 1) collatéral : du même côté ; confrère : personne exerçant la même profession ; coéquipier : personne appartenant à la même équipe ; compatriote : personne issue du même pays ; colocataire : personne louant le même appartement ; cocyclique : appartenant au même cercle. 2) copropriétaire, collaborateur, copain, etc. 3c > M 2) La tangente (Δ) au cercle en M est perpendiculaire à la droite (OM). Le triangle OMP est donc rectangle en M. D’après le théorème de Pythagore

est donc 2p = 0 2 sin t t dt = 4 − cos 2 2 2p = 8. 0 Exercice 9.31 Centrale PC 2005 t − sin t 1 − cos t , y(t) = . 2 t t2 Questions de la rédaction : Montrer en particulier que les points de rebroussement de la courbe sont cocycliques et que les tangentes en ces points sont Étudier et tracer la courbe paramétrée par x(t) = 276 Chap. 9. Étude affine et métrique des courbes concourantes. (On pourra poser t = 2u et exprimer x (2u) et y (2u) en fonction de u et tan u).