Cocyclique

)2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 = R2 43.2. Cocyclicité Théorème : (Angle au centre) A,B et C distincts appartiennent à un même cercle de centre Ω ⇔ −→ − → ΩA,ΩB =2 − − → → CA,CB − − → → − − → → Théorème : A,B,C et D distincts sont cocycliques ou alignés ⇔ AC, BC =[π ] AD, BD Théorème : Si a,b,c,d sont les affixes de A,B,C,D distincts dans le plan complexe, A,B,C et D appartiennent à c−b d−b un même cercle ou sont alignés ⇔ arg =[π ] arg c−a d−a 43.3. Cercles dans l’espace. Le

degré dans C Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C : (1) z(2z + 1)(z − 2)(2z − 3) = 63. 2.8 2.9 Étude de cocyclicité pour quatre points du plan Est-ce que les points A,B,C,D d'affixes respectives 9 + 3i, 6 + 10i,−4 + 14i, −11 + 11i sont cocycliques ? Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle qui les contient. 2.10 Étude de conjugaison et de modules de nombres complexes Montrer : ∀ u ∈ U, ∀ z ∈ C∗ , u − 1 |u − z| . = z |z| 2.11 Inégalités sur des modules de nombres complexes

+ (z − z0 )2 = R2 40.2. Cocyclicité A, B et C distincts appartiennent à un même cercle de centre Ω ⇔ −− −− −→ −→ −→ −→ − − ΩA , ΩB = 2 CA , CB Théorème : (Angle au centre) −− −→ −→ − −→ −→ − − Théorème : A, B, C et D distincts sont cocycliques ou alignés ⇔ AC , BC =[π] AD , BD Théorème : Si a, b, c, d sont les affixes de A, B, C, D distincts dans le plan complexe, d −b c−b =[π] arg A, B, C et D appartiennent à un même cercle ou sont alignés ⇔ arg c−a d −a 40.3. Cercles dans l’espace

degré dans C Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C : (1) z(2z + 1)(z − 2)(2z − 3) = 63. 2.8 2.9 Étude de cocyclicité pour quatre points du plan Est-ce que les points A,B,C,D d'affixes respectives 9 + 3i, 6 + 10i,−4 + 14i, −11 + 11i sont cocycliques ? Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle qui les contient. 2.10 Étude de conjugaison et de modules de nombres complexes Montrer : ∀ u ∈ U, ∀ z ∈ C∗ , u − 1 |u − z| . = z |z| 2.11 Inégalités sur des modules de nombres complexes

z C − z A = ei 3 (z B − z A ) . • Le triangle ABC est isocèle et rectangle en A si, et seulement si, z C − z A = ± i (z B − z A ). • Soit A, B, C et D quatre points, deux à deux distincts, d'affixes respectifs z A , z B , z C , z D . Ils sont cocycliques ou alignés si, et seulement si, z B − zC zB − zD / est réel. z A − zC zA − zD π 148 Polynômes 48 1re année 1. 1.1 Polynômes à une indéterminée Définitions Un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans un corps K, est

z C − z A = ei 3 (z B − z A ) . • Le triangle ABC est isocèle et rectangle en A si, et seulement si, z C − z A = ± i (z B − z A ). • Soit A, B, C et D quatre points, deux à deux distincts, d'affixes respectifs z A , z B , z C , z D . Ils sont cocycliques ou alignés si, et seulement si, z B − zC zB − zD / est réel. z A − zC zA − zD π 48 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. 155 Algèbre générale 49 1re année Polynômes 1. 1.1 Polynômes à une indéterminée Définitions

droite d’Euler appliqué au triangle K A K B K C = . montrer que −→ −→ − 8. Montrer que K A = − A . © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 9. Montrer que les neufs points A , B , C , H A , H B , HC, K A , K B et K C sont cocycliques. 1. La définition de G fait intervenir A, B et C ; il reste à utiliser la relation de Chasles pour éliminer ces trois points et les remplacer par A , B et C . On a successivement : − → − → − → 0 = G A + G B + GC − − −→ −→ −→ −→ −→

. 2 2 1. Montrer que le centre d’inertie du triangle ABC est O. 2. Déterminer le barycentre du système {(A, 2), (B, 3), (C, 4)}. 1 3 1 3 7.32. Soient A(a), B(b) et C(c) où a = −2, b = − − i et c = − + i 5 5 5 5 1. Montrer que O, A, B et C sont cocycliques. a−c 1 . 2. Soit D(d) où d = − . Exprimer sous forme trigonométrique 2 d−c 3. Que peut-on en déduire ? 7.33. On considère le point A d’affixe zA = 2 + i et le cercle Γ de centre A et de rayon 1. (a) Déterminer les affixes des points d’intersection de

cercle de diamètre [AC]. 6.32. Soient A(1), B −1 + i −1 − i et C . 2 2 1. Montrer que le centre d’inertie du triangle ABC est O. 1 3 1 3 6.33. Soient A(a), B(b) et C(c) où a = −2, b = − − i et c = − + i 5 5 5 5 1. Montrer que O, A, B et C sont cocycliques. 1 a−c 2. Soit D(d) où d = − . Exprimer sous forme trigonométrique . 2 d−c 3. Que peut-on en déduire ? 6.34. Déterminer la forme complexe des transformations suivantes : 1. translation de vecteur w(−1 + i) ; 2. homothétie de centre Ω(1 + 3i) et

de A2 et A3 par rapport ` A1 . e a (a) Calculer les formes alg´briques et les modules des affixes de B2 et B3 . e (b) Montrer que OB2 OA2 est un nombre entier. (c) Quelle est la nature du quadrilat`re A2 A3 B2 B3 ? e Exercice no 15 [Points cocycliques] Le plan est rapport´ ` un rep`re orthonormal direct (O, u, v), d’unit´ graphique graphique 1 ea e e cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π . 2 √ Soit le nombre complexe z = 1 − i 3. 1. Calculer le module et un argument de