Cocyclique

OM 3 ⇔ 1 1 1 OM = OM 3 ⇔ OM = MM ' , d’où l’équivalence cherchée. 2 2 2 Supposons maintenant que cette condition soit vérifiée et donc que les points M, M1, M2 et M3 appartiennent à un même cercle de centre O (dit aussi que ces points sont cocycliques). Nous avons vu que (MM’) est orthogonale à (OA), autrement dit (OA) est la hauteur issue de O, et comme le triangle OMM’ est rectangle. Notons R = OM le rayon du cercle, et θ = M ' OM . Comme vaut π 6 R 1 R 1 OM = MM ' , on a MM ' = . On

nombres complexes a, b, c et d le nombre complexe : [a, b, c, d] = a−b a−d (a − b)(c − d) ÷ = . c −b c −d (c − b)(a − d) On dit par ailleurs que les points A, B, C et D sont cocycliques s’ils appartiennent à un même cercle ou à une même droite du plan. L’objet de ce problème est de montrer que A, B, C et D sont cocycliques si, et seulement si, le birapport [a, b, c, d] est réel. On en déduira le fameux théorème «des angles inscrits». 1 - Condition nécessaire a) Donner, sans démonstration, une interprétation

Mesure d'un angle orienté * Angles inscrits 2- - Trigonométrie * Formules usuelles de transformation * Equations et inéquations trigonométriques dans R: Sinx = a; cosx = a: tanx = a Sin x<a; cos x<a; tan x<a A cos x+ b sin x+ c=0 1- points cocycliques 2- Application des nombres complexes à la trigonométrie * Formule de Moivre * Exemples de linéarisation de polynômes trigonométriques * Conversion de sommes en produits et de produits en sommes * Réductions de a cosx+bsin x VECTEURS-BARYCENTRES

centre du cercle circonscrit est l'unique point O a egale distance de A et B et tel que $\hat{AOB}=2\hat{ACB}$. Critere d'alignement et de cocyclicite : Soient A,B,P,Q quatre points distincts de $\mathcal{E}$. Alors A,B,P,Q sont alignes ou cocycliques ssi on a l'egalite d'angles de droites $\hat{PA,PB}=\hat{QA,QB}$. 2.4.6 Applications aux similitudes directes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1) Soient deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ qui se coupent en deux points C

La crise de la Baring (1890) 7°) Nouvelle panique à New York (1893) 8°) Le tournant du siècle : la fin des crises ? §3. La théorie des cycles ou la naissance de la macroéconomie 1°) De la crise périodique à la notion de cycle 2°) L’évolution cocyclique des prix et des quantités 3°) Statisticiens et théoriciens a) Le repérage empirique et la typologie des cycles : Juglar, Kitchin, Kondratief b) La théorie monétaire des cycles (les processus cumulatifs à la Wicksell) c) Les théories

plan. On note d la plus petite distance non nulle entre deux de ces points. Prouver qu'il n'y a pas plus de 3n − 6 paires {Pi , Pj } pour lesquelles Pi Pj = d. On considère un ensemble E ni de points du plan, trois jamais alignés et quatre jamais cocycliques. Si A et B sont deux points distincts appartenant à E , on dira que la paire {A, B} est bonne s'il existe un disque fermé qui contienne uniquement A et B . On note f (E) le nombre de bonnes paires formées par les éléments de E . Prouver que, si

vecteurs AB et AC sont orthogonaux π ⇔ arg(b − a) = arg(c − a) + (π) 2 b−a ⇔ est imaginaire pur c−a ⇔ (b − a)(c − a) est imaginaire pur. Condition de cocyclicit´ e Les points (A, a), (B, b), (C, c) et (D, d) sont sur un mˆme cercle (sont cocycliques) e ⇔ les angles de vecteurs (AC, AD) et (BC, BD) sont ´gaux (modulo π) e d−a d−b ⇔ arg = arg (π) c−a c−b (d − a)(c − b) = 0 (π) ⇔ arg (c − a)(d − b) ⇔ (d − a)(c − b)(c − a)(d − b) est r´el. e Triangle ´quilat´ral e e Les points

2 + 33 2 = 3 136 + 1 089 = 4 225 On trouve que AN 2 = AJ 2 + JN 2, on peut utiliser la réciproque de Pythagore pour conclure que le triangle ANJ est rectangle en J. Donc J appartient au cercle de diamètre [AN]. Les points A, S, N et J sont donc cocycliques. 2. Cette reconstitution du théorème de Pythagore par un puzzle ne peut-être considérée comme une démonstration car il ne s’agit pas d’un raisonnement rigoureux mais juste de collages approximatifs. 87 Le triangle ESJ est rectangle en E ;

[005663] Exercice 14 *** b ... b  .. .. .  a . . . . Soient a et b deux réels tels que |a| = |b|. Soit A =  . .  . . ..  . . . b a ... a 0 0     .   2 Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres de A sont cocycliques. (Indication : pour −X + x b + x . . . b+x . .. .. . . . a+x . calculer χA , considérer f (x) = .) . .. .. . . . . b+x a+x . . . a + x −X + x Correction [005664] Exercice 15 ***I Matrices stochastiques Soit A = (ai, j )1 i, j n ∈ Mn (R)

D´terminer les coordonn´es du point e e d’intersection des droites (AB) et (CD). d) En d´duire la solutionde l’´quation f(x)=g(x). e e e) R´soudre par le calcul l’in´quation f (x) ≤ g(x). e e 10 Dans la figure ci-contre, A, B, C et D sont cocycliques. On a : AI=2,5 AB=3 BI=3,5 AD=6,2. 1 ) Montrer que les triangles ABI et ICD sont ˚ semblables. 2 ) Calculer les longueurs des cˆt´s du triangle ICD. ˚ o e 11 A I B O C D a) Montrer que AI=BI. 12 en A. Tracer un triangle