Coupure de Dedekind

xo E IO, 1[. Cette suite est convergente et tend vers O. D'où : Donc, en particulier xl=$e E et O < XÔ < E. Y D'où V & > O 3 x 1 E telque ~ OO 3z0eC telque -- 2 fi< z , < - -A . +& 2 2 Ce qui montre que inf C = - 2 1.10. (Coupures de DEDEKIND). Soit f la fonction définie de R dans W par f(x) = x3 + x - 1 . 1") Etudier la monotonie de f. 2") Soit p/q un rationnel. Montrer que l'égalité f(p1q) = O est impossible. 3") S o i t A = ( a € Q / f ( a ) < O ) et B = { b~ Q / f(b)>O ). Montrer

fonction, mais comme une véritable coupure, une limite du changeant et du non-changenat dans la fonction même. » l'interprétation moderne du calcul : « la limite ne suppose plus les idées de variable continue et d'approximation infinie. Au contraire, c'est la notion de limite qui fonde une nouvelle définition statique et purement idéelle de la continuité, et qui n'implique, pour être elle-même définie, que le nombre ou plutôt l'universel dans le nombre. » « c'est la coupure, en ce sens, qui constitue le

Markov sur les groupes finis ; voir, par exemple, Behrends [3]) établit que pour des grandes valeurs de k la distance (de variation totale) d(k) := Top∗k − U tend vers 0 exponentiellement. Cependant, cette théorie ne rend pas compte du phénomène de “coupure” que l’on observe en pratique : après un certain nombre k0 d’opérations, d(k) décroît rapidement vers 0. La représentation graphique présentée dans la marge illustre ce phénomène. Pour les joueurs de cartes, la question n’est pas “à combien précisément

que la d´emonstration de leurs propri´et´es et surtout de leur existence (du point de vue math´ematique!) date du si`ecle dernier. Nous n’aborderons donc pas cet aspect et renvoyons aux trait´es classiques pour une description de R par les coupures de Dedekind ou les classes d’´equivalence de suites de Cauchy (Voir par exemple l’ouvrage de Dixmier cit´e en bibliographie). Quant aux nombres complexes, mˆeme les math´ematiciens ont mis longtemps ` a accepter leur emploi (ils se sont longtemps appel´es

x2 − 3 = 0 e e √ √ et 5x − 4 = 0. Le nombre 2 + 3 est un nombre alg´brique car il est solution de e x4 − 10x2 + 1 = 0. x √ Il existe, par ailleurs, un proc´d´ dˆ au Math´maticien Allemand R. Dedekind, utilis´ e e u e e pour passer des nombres rationnels aux nombres r´els. C’est la notion de coupure dans e l’ensemble Q. On construit, enfin, l’ensemble C des nombres complexes, pour donner un sens aux racines des ´quations du second degr´ dont le d´scriminant est n´gatif et qui n’ont pas, de ce

souvent confondue avec le plus grand élément. – Ce n’est pourtant que beaucoup plus tard, dans les années 1860-1870 (donc assez récemment dans l’histoire des mathématiques) que deux constructions complètes de R sont données : – Les coupures de Dedekind : C est une coupure si C ⊂ Q et si ∀ r ∈ C on a r < r =⇒ r ∈ C . – Le suites de Cauchy : ce sont les suites (u n )n∈N vérifiant la propriété ∀ε > 0 ∃ N ∈ N | (m N ,n N) =⇒ | u m − u n | ε. Les réels sont l’ensemble des suites de Cauchy (où l’on identifie