E4 Am Réunion

rectangle AMNP est donc égale à : MN = AM × MN = 0, 6 × 3, 2 = 1, 92. AB × CM 4 × ( 3 − x ) = . CA 3 Donc, l’aire du rectangle AMNP vaut 4 4x 4 AM × MN = x × × ( 3 − x ) = x ( 4 − ) = 4 x − x 2 3 3 3 b) De façon plus générale, on a MN = c) En remplaçant x successivement par 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 et 3 dans 4 l’expression 4 x − x 2 , on obtient le tableau de valeurs suivant, où les valeurs 3 ont été arrondies au dixième. x = AM (en cm) 0 0,5 1 1,5 2

L’aire du rectangle AMNP est donc égale à : MN = AM × MN = 0, 6 × 3, 2 = 1, 92. b) De façon plus générale, on a MN = AB × CM 4 × ( 3 − x ) = . CA 3 Donc, l’aire du rectangle AMNP vaut 4 4x 4 AM × MN = x × × ( 3 − x ) = x ( 4 − ) = 4 x − x 2 3 3 3 c) En remplaçant x successivement par 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 et 3 dans 4 l’expression 4 x − x 2 , on obtient le tableau de valeurs suivant, où les valeurs 3 ont été arrondies au dixième. x = AM (en cm) a ( x ) = aire du rectangle AMNP en m².

ou 25 698 236 × 10–3 ou 25,698 236 ×103. Programme de la classe de cinquième Seules les notations a² et a3 ont été introduites. COMPÉTENCE ■ Commentaires Connaître dans le cadre général et utiliser sur des exemples les égalités : am am.an = am + n ; n = am – n ; (am)n = amn ; a a n an n n n = n ; où a et b sont des nombres (ab) = a b ; b b non nuls et m et n des entiers relatifs. Les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment les puissances de dix, déjà travaillées en 4e sur

; soit E l'espace vectoriel Mn (K ) (K est un corps commutatif). (a) Soit f 2 E . Montrer : 9! A 2 E; 8M 2 E f (M ) = tr(AM ). (b) Montrer que tout hyperplan de E contient une matrice inversible (on supposera le resultat faux et on deduira que A est alors diagonale). Soit A 2 M3(K ) telle que A 6= 0; A2 = 0. (a) Montrer que A est semblable a E2;3. (b) Soit F = fM 2 M3(K ); AM + MA = 0g. Quelle est la dimension de F? Soient E et F deux K -espaces vectoriels de dimensions nies. Soit u 2 L(E; F ). Soient

e3 ) est une base de Im f . celle-ci vérifie les conditions ⎪ (e3 , e4 ) est une base de Ker f ⎪ ⎩ Im f ∩ Ker f = Ke3 2 Synthèse : l’endomorphisme f est non nul donc il existe e1 ∈ E tel que f 2 (e1 ) = 0. On pose e2 = f (e1 ) et e3 = f 2 (e1 ). L’égalité f 3 = 0 donne Im f 2 ⊂ Ker f donc e3 ∈ Ker f et Ker f étant de dimension 2, on peut trouver e4 tel que (e3 , e4 ) soit une base de Ker f . Montrons alors que (e1 , e2 , e3 , e4 ) est une base de E. Soit 4 (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ K tel que 4

: x = 1 . 4 4 Vrai : - x H 0 + x G 0. 5 Vrai : Déduire une courbe d’une autre 1 La transformation qui permet de passer de Ᏺ à Ꮿ semble être une translation. 2 6 Faux : 3 4 5 6 5- 6 est négatif. 7 8 x 9 2 OM ^ x ; y h ; OA ^3 ; 2h ; AM ^ X ; Y h . 1 + Y + 2 = 2 + x1 + Y = x1 . x-3 4 La transformation qui permet de passer de Ᏺ à Ꮿ est la translation de vecteur OA. 3 y=2+ Applications directes Identifier la nature d’une courbe 1 g ^1h = 0 , donc I ! Ꮿ et g ^0h = 1, donc J ! Ꮿ. ©Hachette

19 1 Étude de la réverbération. Données : • Coefficients d'absorption αi à 1 kHz des matériaux : o Parois verticales intérieures non vitrées : α1 = 3,00x10-1. o Sol en dalles plastiques : α2 = 40,0x10-3. • L'aire d'absorption équivalente Am du mobilier est égale à 5,00 m2. • L'aire de la face 1 est : S1 = 60,0 m2. 1.1 - Expliquer à quoi est dû le phénomène de réverbération dans un local. 1.2 - On donne les aires d'absorption équivalente suivantes : • face 1 (surfaces vitrées comprises)

(−2 − h) =0. 2 En passant par la rivière 1 a. ● b. Voici l’écran obtenu avec le logiciel GeoGebra. Les courbes (S), (T) et (U) représentent respectivement AM, BM et AM + BM en fonction de x. c. Par lecture graphique, on conjecture que : • le minimum de AM est 1, atteint en 1 ; • le minimum de BM est 2, atteint en 5 ; 7 • le minimum de AM+BM est 5, atteint en . 3 2 a. ● Le point M est sur le segment [OC], donc le domaine de définition des fonctions f et g est l’intervalle [0 ; 10]. Pour tout

× 10–3 ou 25,698 236 ×103. Programme de la classe de cinquième Seules les notations a² et a3 ont été introduites. COMPÉTENCE ■ Commentaires Connaître dans le cadre général et utiliser sur des exemples les égalités : am am.an = am + n ; n = am – n ; (am)n = amn ; a a n an n n n = n ; où a et b sont des nombres (ab) = a b ; b b non nuls et m et n des entiers relatifs. Les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment les puissances de dix, déjà travaillées

carré de côté 1 cm, 2 cm…). Dans ce cas, il trouvera sans doute la solution AM = 2 cm. Il peut aussi utiliser un tableur et réduire le pas jusqu’à trouver une valeur approchée d’une deuxième solution environ 1,36. Il peut aussi tracer sur le tableur la courbe représentant le volume en fonction de AM et lire graphiquement les solutions. Enfin une solution algébrique permettrait d’utiliser la calculatrice : si on pose AM = x cm, alors l’aire de la base est ( 10 – 2 x )2 et le volume x ( 10 - 2 x )